Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 6} \frac{\sin (x - 6)}{x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 6} x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1.1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} 54}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} 54}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 54}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $54$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 54}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $6$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{0}{6^{2} + 3 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 54}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{0}{6^{2} + 3 \cdot 6 - 1 \cdot 54}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{36 + 3 \cdot 6 - 1 \cdot 54}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{0}{36 + 18 - 1 \cdot 54}$

Étape 1.1.3.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $54$ .

$\frac{0}{36 + 18 - 54}$

Étape 1.1.3.6.2

Additionnez $36$ et $18$ .

$\frac{0}{54 - 54}$

Étape 1.1.3.6.3

Soustrayez $54$ de $54$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 6} \frac{\sin (x - 6)}{x^{2} + 3 x - 54} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $\cos (x - 6)$ par $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Étape 1.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x - 54$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Étape 1.3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.10.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Étape 1.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Étape 1.3.10.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Étape 1.3.11

Comme $- 54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 54$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3 + 0}$

Étape 1.3.12

Additionnez $2 x + 3$ et $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} \cos (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + 3}$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + 3}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + 3}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + 3}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + lim_{x \to 6} 3}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{2 lim_{x \to 6} x + lim_{x \to 6} 3}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{2 lim_{x \to 6} x + 3}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $6$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6)}{2 lim_{x \to 6} x + 3}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6)}{2 \cdot 6 + 3}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\cos (6 - 6)}{2 \cdot 6 + 3}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{\cos (0)}{2 \cdot 6 + 3}$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 6 + 3}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{12 + 3}$

Étape 4.2.2

Additionnez $12$ et $3$ .

$\frac{1}{15}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{15}$

Forme décimale :

$0.0\overline{6}$