Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{10 x} + e^{- 10 x}}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{10 x} + e^{- 10 x}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{10 x} + e^{- 10 x}] - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{10 x} + e^{- 10 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{10 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{10 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 10 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $10 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $10 x$ .

$\frac{x (e^{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (e^{10 x} (10 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{x (e^{10 x} \cdot 10 + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $10$ à gauche de $e^{10 x}$ .

$\frac{x (10 \cdot e^{10 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 10 x}]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 10 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 10 x$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 10 x$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{- 10 x} \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{- 10 x} (- 10 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{- 10 x} (- 10 \cdot 1)) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} + e^{- 10 x} \cdot - 10) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6.3.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $e^{- 10 x}$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} - 10 \cdot e^{- 10 x}) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} - 10 e^{- 10 x}) - (e^{10 x} + e^{- 10 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (10 e^{10 x} - 10 e^{- 10 x}) - (e^{10 x} + e^{- 10 x})}{x^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (10 e^{10 x}) + x (- 10 e^{- 10 x}) - (e^{10 x} + e^{- 10 x})}{x^{2}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (10 e^{10 x}) + x (- 10 e^{- 10 x}) - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{10 x e^{10 x} + x (- 10 e^{- 10 x}) - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$

Étape 7.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{10 x e^{10 x} - 10 x e^{- 10 x} - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10 e^{10 x} x - 10 e^{- 10 x} x - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$

Étape 7.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{10 e^{10 x} x - 10 e^{- 10 x} x - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{10 x e^{10 x} - 10 x e^{- 10 x} - e^{10 x} - e^{- 10 x}}{x^{2}}$