Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 1}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 \cdot 64 + 1}}$

Étape 8.1.2

Multipliez $4$ par $64$ .

$\frac{8}{\sqrt{256 + 1}}$

Étape 8.1.3

Additionnez $256$ et $1$ .

$\frac{8}{\sqrt{257}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{257}}$ par $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{257}} \cdot \frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$

Étape 8.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{257}}$ par $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{\sqrt{257} \sqrt{257}}$

Étape 8.3.2

Élevez $\sqrt{257}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} \sqrt{257}}$

Étape 8.3.3

Élevez $\sqrt{257}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} {\sqrt{257}}^{1}}$

Étape 8.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{2}}$

Étape 8.3.6

Réécrivez ${\sqrt{257}}^{2}$ comme $257$ .

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Étape 8.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{257}$ comme $257^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{(257^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{1}}$

Étape 8.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8 \sqrt{257}}{257}$

Forme décimale :

$0.49902628 \dots$