Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x$

Étape 1

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x) (\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{4 x^{2} + 3 x}}^{2} + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (- 2 x) + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (2 x) - 4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Soustrayez $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 0}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Étape 2.2.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2} + 3 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + 3 x} - 2 x}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + x \cdot 3} - 2 x}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x) + x \cdot 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Étape 3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} - 2}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 7.4

Placez la limite sous le radical.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 9.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 9.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 9.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 9.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 9.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.3.1

Divisez $4 + 3 \cdot 0$ par $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.3.2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Étape 11.3.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Étape 11.3.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Étape 11.3.2.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 2}$

Étape 11.3.2.7

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$3 (\frac{1}{- 4})$

Étape 11.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{1}{4})$

Étape 11.3.4

Multipliez $3 (- \frac{1}{4})$ .

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Étape 11.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (\frac{1}{4})$

Étape 11.3.4.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4}$

Étape 11.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3}{4}$

Forme décimale :

$- 0.75$