Calcul infinitésimal Exemples

lim x \to 3 arctan (\frac{x^{2} - 9}{3 x^{2} - 9 x})

$lim_{x \to 3} \arctan (\frac{x^{2} - 9}{3 x^{2} - 9 x})$

Étape 1

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à

3

$3$ et

6 \cdot 3 - 1 \cdot 9

$6 \cdot 3 - 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

6 \cdot 3

$6 \cdot 3$ .

2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3) - 1 \cdot 9}

$2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3) - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- 1 \cdot 9

$- 1 \cdot 9$ .

2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3) - 1 (9)}

$2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3) - 1 (9)}$

Étape 1.1.3

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- (- 6 \cdot 3) - 1 (9)

$- (- 6 \cdot 3) - 1 (9)$ .

2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3 + 9)}

$2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3 + 9)}$

Étape 1.1.4

Réécrivez

- (- 6 \cdot 3 + 9)

$- (- 6 \cdot 3 + 9)$ comme

- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)

$- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)$ .

2 \frac{3}{- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)}

$2 \frac{3}{- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)}$

Étape 1.1.5

Factorisez

3

$3$ à partir de

3

$3$ .

2 \frac{3 (1)}{- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)}

$2 \frac{3 (1)}{- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)}$

Étape 1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.6.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)

$- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)$ .

2 \frac{3 (1)}{3 (- 1 (- 2 \cdot 3 + 3))}

$2 \frac{3 (1)}{3 (- 1 (- 2 \cdot 3 + 3))}$

Étape 1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 \cdot 1}{3 (- 1 (- 2 \cdot 3 + 3))}$

Étape 1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1}{- 1 (- 2 \cdot 3 + 3)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à

$1$ et

$- 1$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez

$1$ comme

$- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 2 \cdot 3 + 3)}$

Étape 1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{- 2 \cdot 3 + 3})$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Multipliez

$- 2$ par

$3$ .

$2 (- \frac{1}{- 6 + 3})$

Étape 1.3.2

Additionnez

$- 6$ et

$3$ .

$2 (- \frac{1}{- 3})$

Étape 1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- - \frac{1}{3})$

Étape 1.5

Multipliez

$- - \frac{1}{3}$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$2 (1 (\frac{1}{3}))$

Étape 1.5.2

Multipliez

$\frac{1}{3}$ par

$1$ .

$2 (\frac{1}{3})$

Étape 1.6

Associez

$2$ et

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 2

Remplacez

$\frac{x^{2} - 9}{3 x^{2} - 9 x}$ par

$t$ et laissez

$t$ approcher de

$\frac{2}{3}$ car

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{3 x^{2} - 9 x} = \frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \frac{2}{3}} \arctan (t)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant

$\frac{2}{3}$ pour toutes les occurrences de

$t$ .

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Étape 3.1

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun à

$3$ et

$6 \cdot 3 - 1 \cdot 9$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez

$- 1$ à partir de

$6 \cdot 3$ .

$\arctan (2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3) - 1 \cdot 9})$

Étape 3.1.1.2

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- 1 \cdot 9$ .

$\arctan (2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3) - 1 (9)})$

Étape 3.1.1.3

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- (- 6 \cdot 3) - 1 (9)$ .

$\arctan (2 \frac{3}{- (- 6 \cdot 3 + 9)})$

Étape 3.1.1.4

Réécrivez

$- (- 6 \cdot 3 + 9)$ comme

$- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)$ .

$\arctan (2 \frac{3}{- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)})$

Étape 3.1.1.5

Factorisez

$3$ à partir de

$3$ .

$\arctan (2 \frac{3 (1)}{- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)})$

Étape 3.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.6.1

Factorisez

$3$ à partir de

$- 1 (- 6 \cdot 3 + 9)$ .

$\arctan (2 \frac{3 (1)}{3 (- 1 (- 2 \cdot 3 + 3))})$

Étape 3.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\arctan (2 \frac{3 \cdot 1}{3 (- 1 (- 2 \cdot 3 + 3))})$

Étape 3.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\arctan (2 \frac{1}{- 1 (- 2 \cdot 3 + 3)})$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun à

$1$ et

$- 1$ .

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez

$1$ comme

$- 1 (- 1)$ .

$\arctan (2 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 2 \cdot 3 + 3)})$

Étape 3.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arctan (2 (- \frac{1}{- 2 \cdot 3 + 3}))$

Étape 3.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Multipliez

$- 2$ par

$3$ .

$\arctan (2 (- \frac{1}{- 6 + 3}))$

Étape 3.1.3.2

Additionnez

$- 6$ et

$3$ .

$\arctan (2 (- \frac{1}{- 3}))$

Étape 3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arctan (2 (- - \frac{1}{3}))$

Étape 3.1.5

Multipliez

$- - \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$\arctan (2 (1 (\frac{1}{3})))$

Étape 3.1.5.2

Multipliez

$\frac{1}{3}$ par

$1$ .

$\arctan (2 (\frac{1}{3}))$

Étape 3.1.6

Associez

$2$ et

$\frac{1}{3}$ .

$\arctan (\frac{2}{3})$

Étape 3.2

Évaluez

$\arctan (\frac{2}{3})$ .

$0.5880026$