Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x)}{x^{3}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{3}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $15$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{3 x^{2}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $15$ et $3$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 x^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 (x^{2})}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}}$

Étape 2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$5 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.8.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$5 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.8.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 \frac{0^{2} \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.8.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 \frac{0 \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.8.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$5 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.8.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.8.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 \frac{0}{0^{2}}$

Étape 3.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{2} (5 x)$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\sin^{2} (5 x)$ par $\sin (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1

Déplacez $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $\sin (5 x)$ par $\sin^{2} (5 x)$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 lim_{x \to 0} \frac{{\sin (5 x)}^{1 + 2} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 1 \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 \cdot 1 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.9

Déplacez $- 5$ à gauche de $\sin^{3} (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 3.3.10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \cdot 2 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cdot \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.3.12.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.12.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.13

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{1} (5 x) \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.14

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.17

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.18

Multipliez $5$ par $2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.20

Multipliez $10$ par $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.21

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{2 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{x}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.2

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.9

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 lim_{x \to 0} \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.10

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 {(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{3}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.12

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.13

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.14.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 1^{2} \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.4

Multipliez $10$ par $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.5

Multipliez $5$ par $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot \sin (0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 0 - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.7

Multipliez $10$ par $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.8

Multipliez $5$ par $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.9

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.1.11

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.14.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ .

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Étape 5.3.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2} (5 x)$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.7.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.11

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.12

Multipliez $\cos^{2} (5 x)$ par $\cos (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.12.1

Déplacez $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.12.2

Multipliez $\cos (5 x)$ par $\cos^{2} (5 x)$ .

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Étape 5.3.3.12.2.1

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 ({\cos (5 x)}^{1 + 2} \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{3} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.13

Déplacez $5$ à gauche de $\cos^{3} (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cdot \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.14

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.15

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.16

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.17

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{1} (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.18

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \sin^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\sin (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\sin (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.3.2

La dérivée de $\sin (u_{5})$ par rapport à $u_{5}$ est $\cos (u_{5})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.8

Multipliez $5$ par $3$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4.9

Multipliez $15$ par $- 5$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5

Simplifiez

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Étape 5.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \cdot 5 \cos^{3} (5 x) + 10 \cdot - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 5.3.5.2.1

Multipliez $5$ par $10$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) + 10 \cdot - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5.2.2

Multipliez $- 10$ par $10$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 100 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5.2.3

Réorganisez les facteurs de $- 100 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 100 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5.2.4

Soustrayez $75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ de $- 100 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)}{1}$

Étape 5.4

Divisez $- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)$ par $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} - 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- lim_{x \to 0} 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.2

Placez le terme $175$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 {(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.9

Placez le terme $50$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x))$

Étape 6.10

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3})$

Étape 6.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x))$

Étape 6.12

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \sin^{2} (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \cdot 0^{2} \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \cdot 0 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 175$ par $0$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8.2.5

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot \cos (0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot 1 + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8.2.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Étape 8.2.8

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cos^{3} (0))$

Étape 8.2.9

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cdot 1^{3})$

Étape 8.2.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cdot 1)$

Étape 8.2.11

Multipliez $50$ par $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50)$

Étape 8.3

Additionnez $0$ et $50$ .

$\frac{5}{2} \cdot 50$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$\frac{5}{2} \cdot (2 (25))$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 25)$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot 25$

Étape 8.5

Multipliez $5$ par $25$ .

$125$