Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{4 x^{2} - 15 x - 4}{x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x^{2} - 15 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $15$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Multipliez $4$ par $4^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.7.1.1.1

Multipliez $4$ par $4^{2}$ .

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Étape 1.1.2.7.1.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.7.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4^{1 + 2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.7.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4^{3} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$\frac{64 - 60 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{64 - 60 - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $60$ de $64$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.2.7.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9 x - lim_{x \to 4} 52}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9 x - lim_{x \to 4} 52}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 52}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $52$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 52}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{4^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 52}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{4^{2} + 9 \cdot 4 - 1 \cdot 52}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{16 + 9 \cdot 4 - 1 \cdot 52}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{0}{16 + 36 - 1 \cdot 52}$

Étape 1.1.3.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $52$ .

$\frac{0}{16 + 36 - 52}$

Étape 1.1.3.6.2

Additionnez $16$ et $36$ .

$\frac{0}{52 - 52}$

Étape 1.1.3.6.3

Soustrayez $52$ de $52$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{4 x^{2} - 15 x - 4}{x^{2} + 9 x - 52} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 15 x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 15 x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 15 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $8 x - 15$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9 x - 52$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Étape 1.3.10

Comme $- 52$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 52$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 + 0}$

Étape 1.3.11

Additionnez $2 x + 9$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 8 x - 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 8 x - lim_{x \to 4} 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Étape 2.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $15$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 9}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 9}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + 9}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot 4 - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + 9}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot 4 - 1 \cdot 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{32 - 1 \cdot 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{32 - 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $15$ de $32$ .

$\frac{17}{2 \cdot 4 + 9}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{17}{8 + 9}$

Étape 4.2.2

Additionnez $8$ et $9$ .

$\frac{17}{17}$

Étape 4.3

Divisez $17$ par $17$ .

$1$