Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 144 x$ par rapport à $x$ est $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 144$ par $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.6.1

Comme $288$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $288$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ et $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 96 x$ par rapport à $x$ est $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 96$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 144)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $- 144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 144$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $36 x^{2} + 24 x - 96$ et $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 144 x$ par rapport à $x$ est $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $- 144$ par $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.6.1

Comme $288$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $288$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

Étape 4.1.6.2

Additionnez $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) - 96 x - 144 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 96 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) - 144 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $- 144$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{3}) + 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 5.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Étape 5.2.2.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.2.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Étape 5.2.2.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Étape 5.2.2.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Étape 5.2.2.3.4

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Étape 5.2.2.3.5

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Étape 5.2.2.3.6

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$12 - 12$

Étape 5.2.2.3.7

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 5.2.2.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Étape 5.2.2.5

Divisez $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ par $x + 2$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Étape 5.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Étape 5.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 5.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Étape 5.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Étape 5.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 5.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 5.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Étape 5.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Étape 5.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Étape 5.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Étape 5.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x - 12$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Étape 5.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Étape 5.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 6$

Étape 5.2.2.6

Écrivez $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ comme un ensemble de facteurs.

$12 ((x + 2) (x^{2} - x - 6)) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 5.2.3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

Étape 5.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 ((x + 2) (x - 3) (x + 2)) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 5.2.4

Associez les exposants.

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Étape 5.2.4.1

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

Étape 5.2.4.2

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

Étape 5.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Étape 5.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 2, 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 96$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 96$

Étape 9.1.2

Multipliez $36$ par $4$ .

$144 + 24 (- 2) - 96$

Étape 9.1.3

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$144 - 48 - 96$

Étape 9.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $48$ de $144$ .

$96 - 96$

Étape 9.2.2

Soustrayez $96$ de $96$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $12$ par $- 64$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 144$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $12$ par $16$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 - 96 \cdot - 4 - 144$

Étape 10.2.2.1.5

Multipliez $- 96$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 + 384 - 144$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.2.2.1

Additionnez $- 768$ et $192$ .

$f' (- 4) = - 576 + 384 - 144$

Étape 10.2.2.2.2

Additionnez $- 576$ et $384$ .

$f' (- 4) = - 192 - 144$

Étape 10.2.2.2.3

Soustrayez $144$ de $- 192$ .

$f' (- 4) = - 336$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 336$ .

$- 336$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- 2, 3)$ dans la dérivée première $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Étape 10.3.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 - 96 \cdot 0 - 144$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $12$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 96 \cdot 0 - 144$

Étape 10.3.2.1.5

Multipliez $- 96$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 144$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 144$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 144$

Étape 10.3.2.2.3

Soustrayez $144$ de $0$ .

$f' (0) = - 144$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 144$ .

$- 144$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée première $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = 12 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $12$ par $216$ .

$f' (6) = 2592 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = 2592 + 12 \cdot 36 - 96 \cdot 6 - 144$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $12$ par $36$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 96 \cdot 6 - 144$

Étape 10.4.2.1.5

Multipliez $- 96$ par $6$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 576 - 144$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.4.2.2.1

Additionnez $2592$ et $432$ .

$f' (6) = 3024 - 576 - 144$

Étape 10.4.2.2.2

Soustrayez $576$ de $3024$ .

$f' (6) = 2448 - 144$

Étape 10.4.2.2.3

Soustrayez $144$ de $2448$ .

$f' (6) = 2304$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $2304$ .

$2304$

Étape 10.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = - 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 3$ , $x = 3$ est un minimum local.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 11