Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x^{\frac{2}{11}}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$ .

$2 + 11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 1 \cdot 11}{11}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 11}{11}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $11$ de $2$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{- 9}{11}})$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{- \frac{9}{11}})$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{2}{11}$ et $x^{- \frac{9}{11}}$ .

$2 + 11 \frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

Étape 1.3.9

Associez $11$ et $\frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$ .

$2 + \frac{11 (2 x^{- \frac{9}{11}})}{11}$

Étape 1.3.10

Multipliez $2$ par $11$ .

$2 + \frac{22 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

Étape 1.3.11

Placez $x^{- \frac{9}{11}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{22}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 1.3.12

Factorisez $11$ à partir de $22$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.13.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 (x^{\frac{9}{11}})}$

Étape 1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}})$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}})$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}}$ comme ${(x^{\frac{9}{11}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{9}{11}})}^{- 1})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{9}{11}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{9}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{9}{11}}))$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{11}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{9}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{11}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{9}{11} \cdot - 2} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $\frac{9}{11} \cdot - 2$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Associez $\frac{9}{11}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{9 \cdot - 2}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Étape 2.2.5.2.2

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Étape 2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Étape 2.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}))$

Étape 2.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}))$

Étape 2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9 - 1 \cdot 11}{11}}))$

Étape 2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9 - 11}{11}}))$

Étape 2.2.9.2

Soustrayez $11$ de $9$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{- 2}{11}}))$

Étape 2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{- \frac{2}{11}}))$

Étape 2.2.11

Associez $\frac{9}{11}$ et $x^{- \frac{2}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} \frac{9 x^{- \frac{2}{11}}}{11})$

Étape 2.2.12

Associez $\frac{9 x^{- \frac{2}{11}}}{11}$ et $x^{- \frac{18}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{2}{11}} x^{- \frac{18}{11}}}{11})$

Étape 2.2.13

Multipliez $x^{- \frac{2}{11}}$ par $x^{- \frac{18}{11}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.1

Déplacez $x^{- \frac{18}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 (x^{- \frac{18}{11}} x^{- \frac{2}{11}})}{11})$

Étape 2.2.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{18}{11} - \frac{2}{11}}}{11})$

Étape 2.2.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{\frac{- 18 - 2}{11}}}{11})$

Étape 2.2.13.4

Soustrayez $2$ de $- 18$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{\frac{- 20}{11}}}{11})$

Étape 2.2.13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{20}{11}}}{11})$

Étape 2.2.14

Placez $x^{- \frac{20}{11}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}})$

Étape 2.2.15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Étape 2.2.16

Associez $- 2$ et $\frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2 \cdot 9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Étape 2.2.17

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Étape 2.2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - \frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x^{\frac{2}{11}}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$ .

$2 + 11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1})$

Étape 4.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

Étape 4.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

Étape 4.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 1 \cdot 11}{11}})$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 11}{11}})$

Étape 4.1.3.6.2

Soustrayez $11$ de $2$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{- 9}{11}})$

Étape 4.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{- \frac{9}{11}})$

Étape 4.1.3.8

Associez $\frac{2}{11}$ et $x^{- \frac{9}{11}}$ .

$2 + 11 \frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

Étape 4.1.3.9

Associez $11$ et $\frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$ .

$2 + \frac{11 (2 x^{- \frac{9}{11}})}{11}$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $2$ par $11$ .

$2 + \frac{22 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

Étape 4.1.3.11

Placez $x^{- \frac{9}{11}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{22}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 4.1.3.12

Factorisez $11$ à partir de $22$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 4.1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.13.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 (x^{\frac{9}{11}})}$

Étape 4.1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 4.1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{9}{11}}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{9}{11}}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$ par $x^{\frac{9}{11}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$ par $x^{\frac{9}{11}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{9}{11}}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{9}{11}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{\frac{9}{11}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{9}{11}}$ par $1$ .

$x^{\frac{9}{11}} = \frac{2}{- 2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $2$ par $- 2$ .

$x^{\frac{9}{11}} = - 1$

Étape 5.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{11}{9}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Étape 5.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}}$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}}$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Étape 5.5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Étape 5.5.4.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Étape 5.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez ${(- 1)}^{\frac{11}{9}}$ .

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Étape 5.5.4.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{9}$ .

$x = {({(- 1)}^{9})}^{\frac{11}{9}}$

Étape 5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{9 (\frac{11}{9})}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = {(- 1)}^{9 (\frac{11}{9})}$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = {(- 1)}^{11}$

Étape 5.5.4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $11$ .

$x = - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$2 + \frac{2}{\sqrt[11]{x^{9}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt[11]{x^{9}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[11]{x^{9}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $11$ .

${\sqrt[11]{x^{9}}}^{11} = 0^{11}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[11]{x^{9}}$ comme $x^{\frac{9}{11}}$ .

${(x^{\frac{9}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{9}{11}})}^{11}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 6.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{9}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{9} = 0^{11}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{9} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[9]{0}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez $\sqrt[9]{0}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{9}$ .

$x = \sqrt[9]{0^{9}}$

Étape 6.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{\frac{20}{11}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{11}$ .

$- \frac{18}{11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{20}{11}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{20}{11})}}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{20}{11})}}$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{20}}$

Étape 9.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $20$ .

$- \frac{18}{11 \cdot 1}$

Étape 9.2

Multipliez $11$ par $1$ .

$- \frac{18}{11}$

Étape 10

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 2 (- 1) + 11 {(- 1)}^{\frac{2}{11}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{\frac{2}{11}}$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{11}$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{2}{11}}$

Étape 11.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{11 (\frac{2}{11})}$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{11 (\frac{2}{11})}$

Étape 11.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{2}$

Étape 11.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 \cdot 1$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $11$ par $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 11$

Étape 11.2.2

Additionnez $- 2$ et $11$ .

$f (- 1) = 9$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $9$ .

$y = 9$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{18}{11 {(0)}^{\frac{20}{11}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{11}$ .

$- \frac{18}{11 {(0^{11})}^{\frac{20}{11}}}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{11 (\frac{20}{11})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{11 (\frac{20}{11})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{20}}$

Étape 13.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{18}{11 \cdot 0}$

Étape 13.3.2

Multipliez $11$ par $0$ .

$- \frac{18}{0}$

Étape 13.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{18}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$

Étape 14.3.2

La réponse finale est $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{9}{11}}}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.4.2.1.1

Placez ${(2)}^{\frac{9}{11}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{9}{11}}$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{9}{11}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.4.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{9}{11}}$ .

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Étape 14.4.2.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{9}{11}}$

Étape 14.4.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{9}{11}}$

Étape 14.4.2.1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{11}{11} - \frac{9}{11}}$

Étape 14.4.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{11 - 9}{11}}$

Étape 14.4.2.1.2.4

Soustrayez $9$ de $11$ .

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{11}}$

Étape 14.4.2.2

La réponse finale est $2 + 2^{\frac{2}{11}}$ .

$2 + 2^{\frac{2}{11}}$

Étape 14.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 1$ , $x = - 1$ est un maximum local.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 14.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ .

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

Étape 15