Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) + \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 4 \sin (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 4.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 5

Factorisez $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \sin (x)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Étape 5.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Étape 5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 5.2.1.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 5.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 7

Définissez $- 2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $- 2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 7.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 7.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 7.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2.7

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Étape 8

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 8.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 8.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 8.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 8.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.2.6

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 11.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 11.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 11.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 11.1.3

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 11.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Étape 11.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 11.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 11.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Étape 11.2

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Étape 12

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 13.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 13.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 13.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Étape 13.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Étape 13.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Étape 13.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.2.2

Pour écrire $\sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.2.3

Associez les fractions.

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Étape 13.2.3.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 13.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Étape 13.2.4.2

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 13.2.5

La réponse finale est $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15.1.5

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 15.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Étape 15.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Étape 15.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 15.1.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 15.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 15.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 15.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 15.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Étape 15.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Étape 15.2

Additionnez $\sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Étape 16

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 17.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 17.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 17.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 17.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 17.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 17.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Étape 17.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Étape 17.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Étape 17.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.2

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.3

Associez les fractions.

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Étape 17.2.3.1

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.4.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.6

La réponse finale est $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Étape 19

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Étape 19.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Étape 19.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Étape 19.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Étape 19.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Étape 19.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Étape 19.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$0 - 4 \sin (- π)$

Étape 19.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$0 - 4 \sin (0)$

Étape 19.1.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Étape 19.1.8

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 19.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 20

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 20.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Étape 20.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 20.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

Étape 20.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.2.1.1

Évaluez $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

Étape 20.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

Étape 20.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

Étape 20.2.2.1.4

Évaluez $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Étape 20.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

Étape 20.2.2.2

Soustrayez $0.29100006$ de $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

Étape 20.2.2.3

La réponse finale est $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

Étape 20.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ dans la dérivée première $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 20.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

Étape 20.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.3.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

Étape 20.3.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

Étape 20.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Étape 20.3.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Étape 20.3.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Étape 20.3.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f' (0) = 2$

Étape 20.3.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 20.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ dans la dérivée première $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 20.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

Étape 20.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.4.2.1.1

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

Étape 20.4.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

Étape 20.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

Étape 20.4.2.1.4

Évaluez $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

Étape 20.4.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

Étape 20.4.2.2

Soustrayez $1.30728724$ de $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

Étape 20.4.2.3

La réponse finale est $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

Étape 20.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ dans la dérivée première $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

Étape 20.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.5.2.1.1

Évaluez $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

Étape 20.5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

Étape 20.5.2.1.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

Étape 20.5.2.1.4

Évaluez $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Étape 20.5.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

Étape 20.5.2.2

Soustrayez $0.29100006$ de $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

Étape 20.5.2.3

La réponse finale est $1.22260492$ .

$1.22260492$

Étape 20.6

Remplacez tout nombre, tel que $7$ , de l’intervalle $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dans la dérivée première $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 20.6.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

Étape 20.6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.6.2.1.1

Évaluez $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

Étape 20.6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

Étape 20.6.2.1.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

Étape 20.6.2.1.4

Évaluez $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

Étape 20.6.2.1.5

Multipliez $2$ par $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

Étape 20.6.2.2

Additionnez $- 1.31397319$ et $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

Étape 20.6.2.3

La réponse finale est $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

Étape 20.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - \frac{π}{2}$ , $x = - \frac{π}{2}$ est un minimum local.

$x = - \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 20.8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{π}{6}$ , $x = \frac{π}{6}$ est un maximum local.

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

Étape 20.9

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{5 π}{6}$ , $x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local.

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

Étape 20.10

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

Étape 20.11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ est un minimum local

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

$x = - \frac{π}{2}$ est un minimum local

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

Étape 21