Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 4 \cos (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 5

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 5.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

Étape 5.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 7

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 7.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 7.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 7.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 7.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 7.2.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 8

Définissez $1 + 2 \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $1 + 2 \sin (x)$ égal à $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 8.2

Résolvez $1 + 2 \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 8.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 8.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 8.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 8.2.7

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 11.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 11.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 + 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 11.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 + 4 \cos (π)$

Étape 11.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 2 + 4 (- \cos (0))$

Étape 11.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 11.1.6

Multipliez $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 11.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 + 4 \cdot - 1$

Étape 11.1.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 2 - 4$

Étape 11.2

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$- 6$

Étape 12

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (π)$

Étape 13.2.1.4

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (0)$

Étape 13.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 13.2.1.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Étape 13.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Étape 13.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 15.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 15.1.3

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 15.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 15.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 15.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 + 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Étape 15.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 + 4 \cos (3 π)$

Étape 15.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 + 4 \cos (π)$

Étape 15.1.6

$2 + 4 (- \cos (0))$

Étape 15.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 15.1.8

Multipliez $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 15.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 + 4 \cdot - 1$

Étape 15.1.8.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 - 4$

Étape 15.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$- 2$

Étape 16

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 17.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 17.2.1.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 17.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 17.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 17.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (3 π)$

Étape 17.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (π)$

Étape 17.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (0)$

Étape 17.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.2.1.8

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Étape 17.2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Étape 17.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (- \frac{π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19.1.2

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 19.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{6})$

Étape 19.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 (3)})$

Étape 19.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

Étape 19.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$1 + 4 \cos (\frac{- π}{3})$

Étape 19.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + 4 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 19.1.8

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 19.1.9

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 19.1.10

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Étape 19.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Étape 19.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Étape 19.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 2$

Étape 19.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3$

Étape 20

$x = - \frac{π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{6}$ est un minimum local

Étape 21

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 21.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 21.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 21.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 21.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 21.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Étape 21.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{6}))$

Étape 21.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

Étape 21.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

Étape 21.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{- π}{3})$

Étape 21.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.7

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 21.2.1.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.9

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Étape 21.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 21.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 21.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 21.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Étape 21.2.5.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Étape 21.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Étape 21.2.7

La réponse finale est $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{7 π}{6}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 23

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 23.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.1.1

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 23.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 23.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 23.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 23.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 23.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 23.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 23.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 23.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

Étape 23.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

Étape 23.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 4 \cos (\frac{7 π}{3})$

Étape 23.1.6

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Étape 23.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Étape 23.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Étape 23.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 2$

Étape 23.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3$

Étape 24

$x = \frac{7 π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7 π}{6}$ est un minimum local

Étape 25

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 25.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 25.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 25.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 25.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 25.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 25.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 25.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 25.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

Étape 25.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

Étape 25.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

Étape 25.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 25.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Étape 25.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 25.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 25.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 25.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Étape 25.2.5.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Étape 25.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Étape 25.2.7

La réponse finale est $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Étape 26

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ est un maximum local

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ est un minimum local

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ est un minimum local

Étape 27