Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - \frac{32}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{32}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{32}{x}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 - 32 (- x^{- 2})$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 32$ .

$2 + 32 x^{- 2}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 32 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Associez $32$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{32}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{32}{x^{2}} + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{32}{x^{2}} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{32}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $32$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 64$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 64}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $- \frac{64}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{32}{x^{2}} + 2 = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6