Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.4

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.6

Comme $10 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 + 0$

Étape 1.7

Associez des termes.

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Étape 1.7.1

Additionnez $4 x + 3 y$ et $0$ .

$4 x + 3 y - 2 + 0$

Étape 1.7.2

Additionnez $4 x + 3 y - 2$ et $0$ .

$4 x + 3 y - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3 y - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + 0$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x + 3 y - 2 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.4

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.6

Comme $10 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 + 0$

Étape 4.1.7

Associez des termes.

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Étape 4.1.7.1

Additionnez $4 x + 3 y$ et $0$ .

$4 x + 3 y - 2 + 0$

Étape 4.1.7.2

Additionnez $4 x + 3 y - 2$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y - 2$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x + 3 y - 2$ .

$4 x + 3 y - 2$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x + 3 y - 2 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x + 3 y - 2 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - 2 = - 3 y$

Étape 5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = - 3 y + 2$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3 y + 2$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3 y + 2$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{2 (1)}{4}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4$

Étape 9

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Réécrivez ${(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})}^{2}$ comme $(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 ((- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.2

Développez $(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.3.1.1

Multipliez $- \frac{3 y}{4} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 10.2.1.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (1 (\frac{3 y}{4}) \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.1.2

Multipliez $\frac{3 y}{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{3 y}{4} \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.1.3

Multipliez $\frac{3 y}{4}$ par $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{3 y (3 y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y \cdot y}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.1.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 (y \cdot y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.1.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

Étape 10.2.1.3.1.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{1 + 1}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.1.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.2

Multipliez $- \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.2.1.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 10.2.1.3.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} - \frac{3 y}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} - \frac{3 y}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} - \frac{3 y}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} - \frac{3 y}{8} + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.3.2

Soustrayez $\frac{3 y}{8}$ de $- \frac{3 y}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 2 \frac{3 y}{8} + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 (- 1) (\frac{3 y}{8}) + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 y}{2 \cdot 4}) + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.4.1.3

Annulez le facteur commun.

Étape 10.2.1.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 1 \frac{3 y}{4} + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.4.2

Réécrivez $- 1 \frac{3 y}{4}$ comme $- \frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 (8)}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 \cdot 8}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (- \frac{3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.6.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 y}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 3 y}{2 (2)}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{2} + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{2} + 2 (\frac{1}{2 (2)}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{2} + 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{2} + \frac{1}{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (3 (- \frac{3 y}{4}) + 3 (\frac{1}{2})) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.9

Multipliez $3 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 10.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (- 3 \frac{3 y}{4} + 3 (\frac{1}{2})) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.9.2

Associez $- 3$ et $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (\frac{- 3 (3 y)}{4} + 3 (\frac{1}{2})) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.9.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (\frac{- 9 y}{4} + 3 (\frac{1}{2})) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.10

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (\frac{- 9 y}{4} + \frac{3}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (- \frac{9 y}{4} + \frac{3}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y}{4} \cdot y + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.13

Multipliez $- \frac{9 y}{4} y$ .

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Étape 10.2.1.13.1

Associez $y$ et $\frac{9 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{y (9 y)}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.13.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.13.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.13.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{1 + 1}}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.13.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.14

Associez $\frac{3}{2}$ et $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.16

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 y}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 2 \frac{- 3 y}{4} - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.16.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + 2 (- 1) (\frac{- 3 y}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.16.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.16.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.16.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 \frac{- 3 y}{2} - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.17.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 \frac{- 3 y}{2} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + 10 y$

Étape 10.2.1.17.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 \frac{- 3 y}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + 10 y$

Étape 10.2.1.17.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 \frac{- 3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.1.18

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.18.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 (- \frac{3 y}{2}) - 1 + 10 y$

Étape 10.2.1.18.2

Multipliez $- 1 (- \frac{3 y}{2})$ .

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Étape 10.2.1.18.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + 1 (\frac{3 y}{2}) - 1 + 10 y$

Étape 10.2.1.18.2.2

Multipliez $\frac{3 y}{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.2

Associez les termes opposés dans $\frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$ .

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Étape 10.2.2.1

Additionnez $- \frac{3 y}{2}$ et $\frac{3 y}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + 0 + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $\frac{9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4}$ et $0$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.3

Pour écrire $- \frac{9 y^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.4.1

Multipliez $\frac{9 y^{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.6.1.1

Factorisez $9 y^{2}$ à partir de $9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2$ .

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Étape 10.2.6.1.1.1

Factorisez $9 y^{2}$ à partir de $9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} (1) - 9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.6.1.1.2

Factorisez $9 y^{2}$ à partir de $- 9 y^{2} \cdot 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} (1) + 9 y^{2} (- 1 \cdot 2)}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.6.1.1.3

Factorisez $9 y^{2}$ à partir de $9 y^{2} (1) + 9 y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} (1 - 2)}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.6.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} \cdot - 1}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{- 9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = - \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.7

Pour écrire $4 y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = - \frac{9 y^{2}}{8} + 4 y^{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.8

Simplifiez les termes.

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Étape 10.2.8.1

Associez $4 y^{2}$ et $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = - \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{- 9 y^{2} + 4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.9.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 9 y^{2} + 4 y^{2} \cdot 8$ .

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Étape 10.2.9.1.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} \cdot - 9 + 4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.9.1.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $4 y^{2} \cdot 8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} \cdot - 9 + y^{2} (4 \cdot 8)}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.9.1.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot - 9 + y^{2} (4 \cdot 8)$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} (- 9 + 4 \cdot 8)}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.9.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} (- 9 + 32)}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.9.1.3

Additionnez $- 9$ et $32$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} \cdot 23}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.9.2

Déplacez $23$ à gauche de $y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Étape 10.2.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} + 10 y$

Étape 10.2.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 10 y$

Étape 10.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} + 10 y$

Étape 10.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{1 - 2}{2} + 10 y$

Étape 10.2.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{- 1}{2} + 10 y$

Étape 10.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} - \frac{1}{2} + 10 y$

Étape 10.2.15

Pour écrire $10 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + 10 y \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 10.2.16

Associez $10 y$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{10 y \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 10.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y + 10 y \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 10.2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y + 10 y \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 10.2.19

Multipliez $2$ par $10$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y + 20 y - 1}{2}$

Étape 10.2.20

Additionnez $3 y$ et $20 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{23 y - 1}{2}$

Étape 10.2.21

Pour écrire $\frac{23 y - 1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{23 y - 1}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 10.2.22

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.22.1

Multipliez $\frac{23 y - 1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{(23 y - 1) \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 10.2.22.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{(23 y - 1) \cdot 4}{8}$

Étape 10.2.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2} + (23 y - 1) \cdot 4}{8}$

Étape 10.2.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.24.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2} + 23 y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{8}$

Étape 10.2.24.2

Multipliez $4$ par $23$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2} + 92 y - 1 \cdot 4}{8}$

Étape 10.2.24.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2} + 92 y - 4}{8}$

Étape 10.2.25

La réponse finale est $\frac{23 y^{2} + 92 y - 4}{8}$ .

$y = \frac{23 y^{2} + 92 y - 4}{8}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ .

$(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}, \frac{23 y^{2} + 92 y - 4}{8})$ est un minimum local

Étape 12