Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$4 x - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 x - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 x - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 x - 6 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$4 x + 12 x^{- 3}$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 12 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.2

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + \frac{12}{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + \frac{12}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{3}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{12}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 4 + 12 (- 3 x^{- 4})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 3$ par $12$ .

$f'' (x) = 4 - 36 x^{- 4}$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 - 36 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Associez $- 36$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{- 36}{x^{4}}$

Étape 2.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 4 - \frac{36}{x^{4}}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{36}{x^{4}} + 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x + \frac{12}{x^{3}} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6