Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $6 x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$6 x^{2} - 8 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{2} - 8 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $6 x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 8 x$ .

$6 x^{2} - 8 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 8 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$2 x (3 x) - 8 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 8 x$ .

$2 x (3 x) + 2 x (- 4) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (3 x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (3 x - 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x - 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (3 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (0) - 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 8$

Étape 9.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 2$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{4}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (\frac{4}{3}) - 8$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$3 (4) \frac{4}{3} - 8$

Étape 13.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 4 \frac{4}{3} - 8$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 4 - 8$

Étape 13.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 - 8$

Étape 13.2

Soustrayez $8$ de $16$ .

$8$

Étape 14

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{4}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4}{3}) = 2 {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Étape 15.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Étape 15.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{27}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $2 (\frac{64}{27})$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{64}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 64}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Étape 15.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Étape 15.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 2$

Étape 15.2.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} + 2$

Étape 15.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 (\frac{16}{9}) + 2$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $- 4 (\frac{16}{9})$ .

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Étape 15.2.1.8.1

Associez $- 4$ et $\frac{16}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} + 2$

Étape 15.2.1.8.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 64}{9} + 2$

Étape 15.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64}{9} + 2$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{64}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 2$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{64}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 2$

Étape 15.2.2.3

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1}$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 64 \cdot 3 + 2 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 64$ par $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 2 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $2$ par $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 54}{27}$

Étape 15.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.5.1

Soustrayez $192$ de $128$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 64 + 54}{27}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $- 64$ et $54$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Étape 15.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{10}{27}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $- \frac{10}{27}$ .

$y = - \frac{10}{27}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ .

$(0, 2)$ est un maximum local

$(\frac{4}{3}, - \frac{10}{27})$ est un minimum local

Étape 17