Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x e^{x} + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x e^{x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ et $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{x} x + 3 e^{x}$

Étape 1.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 e^{x}$ et $3 e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 x e^{x} + 6 e^{x}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 3 e^{x} x + 6 e^{x}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 x e^{x} + 6 e^{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x e^{x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + 0$

Étape 4.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ et $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 4.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{x} x + 3 e^{x}$

Étape 4.1.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f' (x) = 3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $3 x e^{x}$ .

$3 e^{x} (x) + 3 e^{x} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $3 e^{x}$ .

$3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (1) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 e^{x}$ à partir de $3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (1)$ .

$3 e^{x} (x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 e^{x} (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$3 (- 1) e^{- 1} + 6 e^{- 1}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 e^{- 1} + 6 e^{- 1}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{e} + 6 e^{- 1}$

Étape 9.1.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 3}{e} + 6 e^{- 1}$

Étape 9.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{e} + 6 e^{- 1}$

Étape 9.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{e} + 6 \frac{1}{e}$

Étape 9.1.6

Associez $6$ et $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{3}{e} + \frac{6}{e}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 + 6}{e}$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$\frac{3}{e}$

Étape 10

$x = - 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 3 (- 1) \cdot e^{- 1} + 2$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot e^{- 1} + 2$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot \frac{1}{e} + 2$

Étape 11.2.1.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{e} + 2$

Étape 11.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{3}{e} + 2$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $- \frac{3}{e} + 2$ .

$y = - \frac{3}{e} + 2$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x e^{x} + 2$ .

$(- 1, - \frac{3}{e} + 2)$ est un minimum local

Étape 13