Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 5 x^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $15 x^{4} - 15 x^{2}$ et $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{4} - 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 5 x^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $15 x^{4} - 15 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u^{2} - 15 u$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $15 u$ à partir de $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Étape 5.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 5.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 5.5.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 1, - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {(0)}^{3} - 30 \cdot 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$60 \cdot 0 - 30 \cdot 0$

Étape 9.1.2

Multipliez $60$ par $0$ .

$0 - 30 \cdot 0$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 30$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 15 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 15 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 15 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $15$ par $256$ .

$f' (- 4) = 3840 - 15 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = 3840 - 15 \cdot 16$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $16$ .

$f' (- 4) = 3840 - 240$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $240$ de $3840$ .

$f' (- 4) = 3600$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $3600$ .

$3600$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 15 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f' (- 0.5) = 15 {(- 0.5)}^{4} - 15 {(- 0.5)}^{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 0.5$ à la puissance $4$ .

$f' (- 0.5) = 15 \cdot 0.0625 - 15 {(- 0.5)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $15$ par $0.0625$ .

$f' (- 0.5) = 0.9375 - 15 {(- 0.5)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.5) = 0.9375 - 15 \cdot 0.25$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 0.9375 - 3.75$

Étape 10.3.2.2

Soustrayez $3.75$ de $0.9375$ .

$f' (- 0.5) = - 2.8125$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 2.8125$ .

$- 2.8125$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 15 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f' (0.5) = 15 {(0.5)}^{4} - 15 {(0.5)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $4$ .

$f' (0.5) = 15 \cdot 0.0625 - 15 {(0.5)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $15$ par $0.0625$ .

$f' (0.5) = 0.9375 - 15 {(0.5)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$f' (0.5) = 0.9375 - 15 \cdot 0.25$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $0.25$ .

$f' (0.5) = 0.9375 - 3.75$

Étape 10.4.2.2

Soustrayez $3.75$ de $0.9375$ .

$f' (0.5) = - 2.8125$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- 2.8125$ .

$- 2.8125$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 15 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 15 {(4)}^{2}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 15 {(4)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $15$ par $256$ .

$f' (4) = 3840 - 15 {(4)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 3840 - 15 \cdot 16$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $16$ .

$f' (4) = 3840 - 240$

Étape 10.5.2.2

Soustrayez $240$ de $3840$ .

$f' (4) = 3600$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $3600$ .

$3600$

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 1$ , $x = - 1$ est un maximum local.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 10.7

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un minimum local.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 4$ .

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11