Calcul infinitésimal Exemples

Comme ${\displaystyle 3}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 3x}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Multipliez ${\displaystyle 3}$ par ${\displaystyle 1}$.

Comme ${\displaystyle -9}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -9x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -9\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Associez ${\displaystyle -9}$ et ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}$.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Factorisez ${\displaystyle 3}$ à partir de ${\displaystyle -9}$.

Annulez les facteurs communs.

Placez le signe moins devant la fraction.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle 3-\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[3\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}]}$.

Comme ${\displaystyle 3}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 3}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Comme ${\displaystyle -3}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -3\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right]}$.

Réécrivez ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$ comme ${\displaystyle {\left(x^{\frac{2}{3}}\right)}^{-1}}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{2}{3}}$.

Multipliez les exposants dans ${\displaystyle {\left(x^{\frac{2}{3}}\right)}^{-2}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$.

Associez ${\displaystyle \frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{4}{3}}}$.

Multipliez ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$ par ${\displaystyle x^{-\frac{4}{3}}}$ en additionnant les exposants.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{5}{3}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle -3}$.

Associez ${\displaystyle 3}$ et ${\displaystyle \frac{2}{3x^{\frac{5}{3}}}}$.

Multipliez ${\displaystyle 3}$ par ${\displaystyle 2}$.

Factorisez ${\displaystyle 3}$ à partir de ${\displaystyle 6}$.

Annulez les facteurs communs.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle 3x-9x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}[-9x^{\frac{1}{3}}]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[3x\right]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-9x^{\frac{1}{3}}]}$.

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

Multipliez chaque terme dans ${\displaystyle -\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}=-3}$ par ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$.

Simplifiez le côté gauche.

Réécrivez l’équation comme ${\displaystyle -3x^{\frac{2}{3}}=-3}$.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle -3x^{\frac{2}{3}}=-3}$ par ${\displaystyle -3}$ et simplifiez.

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

Simplifiez l’exposant.

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Résolvez ${\displaystyle x}$.

Simplifiez chaque terme.

Soustrayez ${\displaystyle 9}$ de ${\displaystyle 3}$.

La réponse finale est ${\displaystyle -6}$.

Réécrivez ${\displaystyle -1}$ comme ${\displaystyle {(-1)}^3}$.

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${\displaystyle {\left(a^m\right)}^n=a^{mn}}$.

Annulez le facteur commun de ${\displaystyle 3}$.

Élevez ${\displaystyle -1}$ à la puissance ${\displaystyle 5}$.

Simplifiez chaque terme.

Additionnez ${\displaystyle -3}$ et ${\displaystyle 9}$.

La réponse finale est ${\displaystyle 6}$.

Réécrivez ${\displaystyle 0}$ comme ${\displaystyle 0^3}$.

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${\displaystyle {\left(a^m\right)}^n=a^{mn}}$.