Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{3}{5}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $5$ de $3$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$4 \frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.9

Associez $4$ et $\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 (3 x^{- \frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.11

Placez $x^{- \frac{2}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 1.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{12}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{12}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{\frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{\frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{2}{5} \cdot - 2} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{- 4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.9.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.11

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.12

Associez $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ et $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{3}{5}} x^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.13

Multipliez $x^{- \frac{3}{5}}$ par $x^{- \frac{4}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{3}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{5} - \frac{3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.13.4

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 7}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{7}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.14

Placez $x^{- \frac{7}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.15

Multipliez $\frac{12}{5}$ par $\frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cdot 2}{5 (5 x^{\frac{7}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.16

Multipliez $12$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{5 (5 x^{\frac{7}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.17

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.3.5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Étape 2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 2.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Étape 2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Étape 2.3.11

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ et $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.3.13

Multipliez $x^{- \frac{4}{5}}$ par $x^{- \frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.3.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Étape 2.3.13.3

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Étape 2.3.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Étape 2.3.14

Placez $x^{- \frac{6}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Étape 2.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + 1 (\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.3.16

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.3.17

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Étape 2.3.18

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{3}{5}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $5$ de $3$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.8

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.9

Associez $4$ et $\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$f' (x) = \frac{4 (3 x^{- \frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{12 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.2.11

Placez $x^{- \frac{2}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 4.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 4.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 4.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 4.1.3.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 4.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 4.1.3.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 4.1.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Étape 5.2.2

Since $5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{5}}, x^{\frac{1}{5}}$ .

Étape 5.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.2.4

$5$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $5$ .

$5$ est un nombre premier

Étape 5.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.6

Le plus petit multiple commun de $5, 5, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$5$

Étape 5.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{2}{5}}, x^{\frac{1}{5}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{2}{5}}$

Étape 5.2.8

Le plus petit multiple commun pour $5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ est la partie numérique $5$ multipliée par la partie variable.

$5 x^{\frac{2}{5}}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ par $5 x^{\frac{2}{5}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ par $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 5.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$12 - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ dans le numérateur.

$12 + \frac{- 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.4.2

Factorisez $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ à partir de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (1)} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.4.3

Factorisez $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ à partir de $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (1)} (x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (x^{\frac{1}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 \cdot 1} (x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.2.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0 (5 x^{\frac{2}{5}})$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0 x^{\frac{2}{5}}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{\frac{1}{5}} = - 12$

Étape 5.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- 4 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Étape 5.4.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1

Simplifiez ${(- 4 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 x^{\frac{1}{5}}$ .

${(- 4)}^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $5$ .

$- 1024 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Étape 5.4.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1024 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 12)}^{5}$

Étape 5.4.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 1024 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 12)}^{5}$

Étape 5.4.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1024 x^{1} = {(- 12)}^{5}$

Étape 5.4.3.1.1.4

Simplifiez

$- 1024 x = {(- 12)}^{5}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.1

Élevez $- 12$ à la puissance $5$ .

$- 1024 x = - 248832$

Étape 5.4.4

Divisez chaque terme dans $- 1024 x = - 248832$ par $- 1024$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- 1024 x = - 248832$ par $- 1024$ .

$\frac{- 1024 x}{- 1024} = \frac{- 248832}{- 1024}$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1024$ .

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Étape 5.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1024 x}{- 1024} = \frac{- 248832}{- 1024}$

Étape 5.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 248832}{- 1024}$

Étape 5.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.3.1

Divisez $- 248832$ par $- 1024$ .

$x = 243$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \sqrt[5]{x^{2}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x^{2}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$3125 {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3125 x^{2} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3125 x^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3125 x^{2} = 0$ par $3125$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3125 x^{2} = 0$ par $3125$ .

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 6.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3125$ .

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Étape 6.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 6.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3125}$

Étape 6.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3125$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{5 \sqrt[5]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.5.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.5.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.5.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.5.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.5.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Étape 6.5.2.2.1.4

Simplifiez

$3125 x = 0^{5}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3125 x = 0$

Étape 6.5.3

Divisez chaque terme dans $3125 x = 0$ par $3125$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Divisez chaque terme dans $3125 x = 0$ par $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 6.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 6.5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Étape 6.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.3.1

Divisez $0$ par $3125$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 243, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 243$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{25 {(243)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Réécrivez $243$ comme $3^{5}$ .

$\frac{4}{25 \cdot {(3^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 9.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25 \cdot 3^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{25 \cdot 3^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 9.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{25 \cdot 3^{6}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 9.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$\frac{4}{25 \cdot 729} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $25$ par $729$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 9.1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Réécrivez $243$ comme $3^{5}$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot {(3^{5})}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 9.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{5 (\frac{7}{5})}}$

Étape 9.1.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{5 (\frac{7}{5})}}$

Étape 9.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{7}}$

Étape 9.1.3.4

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 2187}$

Étape 9.1.4

Multipliez $25$ par $2187$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{54675}$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun à $24$ et $54675$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{3 (8)}{54675}$

Étape 9.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $54675$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 18225}$

Étape 9.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{18225} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 18225}$

Étape 9.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{18225} - \frac{8}{18225}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 8}{18225}$

Étape 9.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{- 4}{18225}$

Étape 9.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{18225}$

Étape 10

$x = 243$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 243$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 243$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $243$ dans l’expression.

$f (243) = 4 {(243)}^{\frac{3}{5}} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Réécrivez $243$ comme $3^{5}$ .

$f (243) = 4 {(3^{5})}^{\frac{3}{5}} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (243) = 4 \cdot 3^{5 (\frac{3}{5})} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (243) = 4 \cdot 3^{5 (\frac{3}{5})} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (243) = 4 \cdot 3^{3} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (243) = 4 \cdot 27 - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $4$ par $27$ .

$f (243) = 108 - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2.1.6

Réécrivez $243$ comme $3^{5}$ .

$f (243) = 108 - {(3^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2.1.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (243) = 108 - 3^{5 (\frac{4}{5})}$

Étape 11.2.1.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (243) = 108 - 3^{5 (\frac{4}{5})}$

Étape 11.2.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (243) = 108 - 3^{4}$

Étape 11.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (243) = 108 - 1 \cdot 81$

Étape 11.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$f (243) = 108 - 81$

Étape 11.2.2

Soustrayez $81$ de $108$ .

$f (243) = 27$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $27$ .

$y = 27$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$\frac{4}{25 {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{25 \cdot 0^{6}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 13.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4}{25 \cdot 0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 13.3.2

Multipliez $25$ par $0$ .

$\frac{4}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 13.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 243) \cup (243, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Pour écrire $- \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.2.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.2.2.2.1

Multipliez $\frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ par $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}} {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.2.2.2.2

Multipliez ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ par ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.2.2.1

Déplacez ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 ({(- 2)}^{\frac{1}{5}} {(- 2)}^{\frac{1}{5}})}$

Étape 14.2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Étape 14.2.2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Étape 14.2.2.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.2.2.4

La réponse finale est $\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 243)$ dans la dérivée première $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{12}{5 {(2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2.2

Pour écrire $- \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.3.2.3.1

Multipliez $\frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ par $\frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2.3.2

Multipliez $2^{\frac{1}{5}}$ par $2^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.3.2.1

Déplacez $2^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot (2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}})}$

Étape 14.3.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Étape 14.3.2.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{12 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.5

Multipliez $- 4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 14.3.2.5.1

Factorisez le signe négatif.

$f' (2) = \frac{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{5}})}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{12 - (2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{5}})}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.5.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.5.5

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 5 + 1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.2.5.7.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{10 + 1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.5.7.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.3.2.6

La réponse finale est $\frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $246$ , de l’intervalle $(243, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $246$ dans l’expression.

$f' (246) = \frac{12}{5 {(246)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(246)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.2

Pour écrire $- \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.3.1

Multipliez $\frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$ par $\frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}} \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.3.2

Multipliez $246^{\frac{1}{5}}$ par $246^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.4.2.3.2.1

Déplacez $246^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot (246^{\frac{1}{5}} \cdot 246^{\frac{1}{5}})}$

Étape 14.4.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Étape 14.4.2.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (246) = \frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.4.2.5

La réponse finale est $\frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Étape 14.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 243$ , $x = 243$ est un maximum local.

$x = 243$ est un maximum local

Étape 15