Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 - x^{4} y^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{4} y^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4} y^{4}$ par rapport à $x$ est $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Étape 1.3

Soustrayez $4 y^{4} x^{3}$ de $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 4 y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{4} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} (3 x^{2})$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 y^{4} x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{4} y^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4} y^{4}$ par rapport à $x$ est $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $4 y^{4} x^{3}$ de $0$ .

$f' (x) = - 4 y^{4} x^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ par $- 4 y^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ par $- 4 y^{4}$ .

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $- 4$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$x^{3} = \frac{4 (0)}{- 4 y^{4}}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{4}$ .

$x^{3} = \frac{4 (0)}{4 (- y^{4})}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} = \frac{4 \cdot 0}{4 (- y^{4})}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = \frac{0}{- y^{4}}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $0$ par $- y^{4}$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.4

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 y^{4} {(0)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 12 y^{4} \cdot 0$

Étape 9.2

Multipliez $- 12 y^{4} \cdot 0$ .

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Étape 9.2.1

Multipliez $0$ par $- 12$ .

$0 y^{4}$

Étape 9.2.2

Multipliez $0$ par $y^{4}$ .

$0$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11