Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x \sqrt{100 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{100 - x^{2}}$ comme ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 100 - x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.3

Placez ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.10

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.20.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.20.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 1.23

Multipliez ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.24

Pour écrire ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26

Multipliez ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.27

Simplifiez ${(100 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.29

Associez $4$ et $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30

Simplifiez

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Étape 1.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.30.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.2.2

Multipliez $4$ par $100$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.4

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{2} + 400$ .

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Étape 1.30.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.4.2

Factorisez $8$ à partir de $400$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.6

Réécrivez $50$ comme $- 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.8

Réécrivez $- (x^{2} - 50)$ comme $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.30.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 50$ et $g (x) = {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.4

Simplifiez

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 50$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.5.3

Comme $- 50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 50$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.5.4.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x^{2} + 100$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 100$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 100$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{{(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.11.3

Placez ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.16

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.17

Simplifiez les termes.

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Étape 2.17.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.17.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.17.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.17.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.18.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.18.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.18.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.19

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.19.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.19.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 1 (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.19.3

Multipliez $x^{2} - 50$ par $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.20

Associez $- 8$ et $\frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22

Simplifiez

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Étape 2.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.22.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.2

Multipliez $x^{2} - 50$ par $\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 8 (\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.3

Associez $8$ et $\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 ((x^{2} - 50) x)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.4

Pour écrire $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6

Réécrivez $\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.22.2.6.1

Factorisez $8 x$ à partir de $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x$ .

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Étape 2.22.2.6.1.1

Factorisez $8 x$ à partir de $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6.1.2

Factorisez $8 x$ à partir de $8 (x^{2} - 50) x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6.1.3

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6.2

Associez les exposants.

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Étape 2.22.2.6.2.1

Multipliez ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.22.2.6.2.1.1

Déplacez ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{2}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6.2.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.6.2.2

Simplifiez $2 {(- x^{2} + 100)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.22.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2}) + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.7.3

Multipliez $2$ par $100$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 200 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.7.4

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 200 - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.2.7.5

Soustrayez $50$ de $200$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Étape 2.22.3

Associez des termes.

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Étape 2.22.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 100})$

Étape 2.22.3.2

Multipliez $\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{- x^{2} + 100}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

Étape 2.22.3.3

Multipliez ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 100$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.22.3.3.1

Multipliez ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 100$ .

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Étape 2.22.3.3.1.1

Élevez $- x^{2} + 100$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

Étape 2.22.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.22.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.22.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.22.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.22.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.22.5

Réécrivez $150$ comme $- 1 (- 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.22.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.22.7

Réécrivez $- (x^{2} - 150)$ comme $- 1 (x^{2} - 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- 1 (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.22.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.22.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.22.10

Multipliez $\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{100 - x^{2}}$ comme ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 100 - x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8

Associez les fractions.

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Étape 4.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8.3

Placez ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.10

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14

Associez les fractions.

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Étape 4.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 4.1.23

Multipliez ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.24

Pour écrire ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.26

Multipliez ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.27

Simplifiez ${(100 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.29

Associez $4$ et $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30

Simplifiez

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Étape 4.1.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.30.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.2.2

Multipliez $4$ par $100$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.4

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{2} + 400$ .

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Étape 4.1.30.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.4.2

Factorisez $8$ à partir de $400$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.6

Réécrivez $50$ comme $- 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.8

Réécrivez $- (x^{2} - 50)$ comme $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.30.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 (x^{2} - 50) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $8 (x^{2} - 50) = 0$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 (x^{2} - 50) = 0$ par $8$ .

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2} - 50$ par $1$ .

$x^{2} - 50 = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x^{2} - 50 = 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $50$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 50$

Étape 5.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{50}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{50}$ .

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$x = \pm \sqrt{25 (2)}$

Étape 5.3.4.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Étape 5.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 5 \sqrt{2}$

Étape 5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5 \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5 \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{{(- x^{2} + 100)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x^{2} + 100} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x^{2} + 100}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x^{2} + 100}$ comme ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x^{2} + 100)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$- x^{2} + 100 = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x^{2} + 100 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 100$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 100$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 100$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 100}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 100}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 100}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $- 100$ par $- 1$ .

$x^{2} = 100$

Étape 6.3.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{100}$

Étape 6.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{100}$ .

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Étape 6.3.3.4.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Étape 6.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 10$

Étape 6.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 10$

Étape 6.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 10$

Étape 6.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 10, - 10$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x^{2} + 100}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- x^{2} + 100 < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 100$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 100$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 100$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 100}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 100}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 100}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 100$ par $- 1$ .

$x^{2} > 100$

Étape 6.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{100}$

Étape 6.5.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{100}$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{100}$ .

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Étape 6.5.4.2.1.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$| x | > \sqrt{10^{2}}$

Étape 6.5.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 10 |$

Étape 6.5.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $10$ est $10$ .

$| x | > 10$

Étape 6.5.5

Écrivez $| x | > 10$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 10$

Étape 6.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 10$

Étape 6.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 10 & x \geq 0 \\ - x > 10 & x < 0 \end{cases}$

Étape 6.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 10$ et $x \geq 0$ .

$x > 10$

Étape 6.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 10$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 10$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{10}{- 1}$

Étape 6.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{10}{- 1}$

Étape 6.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{10}{- 1}$

Étape 6.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.7.3.1

Divisez $10$ par $- 1$ .

$x < - 10$

Étape 6.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 10$ ou $x > 10$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}, - 10, 10$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5 \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(8 (5 \sqrt{2})) ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (5^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- (25 \cdot 2)$ .

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Étape 9.2.1.4.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 50$ et $100$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.4

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.5

Soustrayez $150$ de $50$ .

$\frac{40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.6

Multipliez $- 100$ par $40$ .

$\frac{- 4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

$x = 5 \sqrt{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5 \sqrt{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 5 \sqrt{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $5 \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (5 \sqrt{2}) = 4 (5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{2}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (5^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 11.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 11.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 11.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 11.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 11.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 11.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Étape 11.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Étape 11.2.3

Multipliez $- (25 \cdot 2)$ .

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

Étape 11.2.4

Soustrayez $50$ de $100$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

Étape 11.2.5

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 11.2.5.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

Étape 11.2.5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Étape 11.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

Étape 11.2.7

Multipliez $20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ .

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Étape 11.2.7.1

Multipliez $5$ par $20$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 11.2.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Étape 11.2.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Étape 11.2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 11.2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 11.2.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 11.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 11.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 11.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 11.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

Étape 11.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

Étape 11.2.9

Multipliez $100$ par $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 200$

Étape 11.2.10

La réponse finale est $200$ .

$y = 200$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5 \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(8 (- 5 \sqrt{2})) ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4

Multipliez $- (25 \cdot 2)$ .

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Étape 13.2.1.4.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 50$ et $100$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Appliquez la règle de produit à $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.4

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.5

Soustrayez $150$ de $50$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3.6

Multipliez $- 100$ par $- 40$ .

$\frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

$x = - 5 \sqrt{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5 \sqrt{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 5 \sqrt{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5 \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- 5 \sqrt{2}) = 4 (- 5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 15.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 15.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 15.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 15.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 15.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 15.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 15.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Étape 15.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Étape 15.2.3

Multipliez $- (25 \cdot 2)$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

Étape 15.2.4

Soustrayez $50$ de $100$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

Étape 15.2.5

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 15.2.5.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

Étape 15.2.5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Étape 15.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

Étape 15.2.7

Multipliez $- 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ .

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Étape 15.2.7.1

Multipliez $5$ par $- 20$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 15.2.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Étape 15.2.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Étape 15.2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 15.2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 15.2.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 15.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 15.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 15.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 15.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

Étape 15.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

Étape 15.2.9

Multipliez $- 100$ par $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 200$

Étape 15.2.10

La réponse finale est $- 200$ .

$y = - 200$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 10$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- {(- 10)}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 17.2.1

Additionnez $- 100$ et $100$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 17.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 17.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{3}}$

Étape 17.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

Étape 17.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

Étape 17.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 18

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 19