Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 413 x^{- 2} + 0.000004 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 413$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 413 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 413 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 413$ .

$826 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $0.000004$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.000004 x$ par rapport à $x$ est $0.000004 \frac{d}{d x} [x]$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $0.000004$ par $1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$826 \frac{1}{x^{3}} + 0.000004$

Étape 1.4.2

Associez $826$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{826}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [0.000004]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{826}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{826}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $826$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{826}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $826 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 826 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 826 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = 826 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 826 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = 826 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 826 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 826 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 826 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.2.8

Multipliez $- 3$ par $826$ .

$f'' (x) = - 2478 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Étape 2.3

Comme $0.000004$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.000004$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2478 x^{- 4} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2478 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 2478$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2478}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2478}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $- \frac{2478}{x^{4}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2478}{x^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 413$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 413 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 413 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 413$ .

$826 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $0.000004$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.000004 x$ par rapport à $x$ est $0.000004 \frac{d}{d x} [x]$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $0.000004$ par $1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004$

Étape 4.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$826 \frac{1}{x^{3}} + 0.000004$

Étape 4.1.4.2

Associez $826$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $0.000004$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$ par $x^{3}$ .

$\frac{826}{x^{3}} x^{3} = - 0.000004 x^{3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{826}{x^{3}} x^{3} = - 0.000004 x^{3}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$826 = - 0.000004 x^{3}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 0.000004 x^{3} = 826$ .

$- 0.000004 x^{3} = 826$

Étape 5.5.2

Soustrayez $826$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.000004 x^{3} - 826 = 0$

Étape 5.5.3

Factorisez $- 0.000004$ à partir de $- 0.000004 x^{3} - 826$ .

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $- 0.000004$ à partir de $- 0.000004 x^{3}$ .

$- 0.000004 x^{3} - 826 = 0$

Étape 5.5.3.2

Factorisez $- 0.000004$ à partir de $- 826$ .

$- 0.000004 x^{3} - 0.000004 \cdot 206500000 = 0$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 0.000004$ à partir de $- 0.000004 (x^{3}) - 0.000004 (206500000)$ .

$- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$

Étape 5.5.4

Divisez chaque terme dans $- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$ par $- 0.000004$ et simplifiez.

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Étape 5.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$ par $- 0.000004$ .

$\frac{- 0.000004 (x^{3} + 206500000)}{- 0.000004} = \frac{0}{- 0.000004}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.000004$ .

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Étape 5.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.000004 (x^{3} + 206500000)}{- 0.000004} = \frac{0}{- 0.000004}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Divisez $x^{3} + 206500000$ par $1$ .

$x^{3} + 206500000 = \frac{0}{- 0.000004}$

Étape 5.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.4.3.1

Divisez $0$ par $- 0.000004$ .

$x^{3} + 206500000 = 0$

Étape 5.5.5

Soustrayez $206500000$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 206500000$

Étape 5.5.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{- 206500000}$

Étape 5.5.7

Simplifiez $\sqrt[3]{- 206500000}$ .

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Étape 5.5.7.1

Réécrivez $- 206500000$ comme ${(- 50)}^{3} \cdot 1652$ .

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Étape 5.5.7.1.1

Factorisez $- 125000$ à partir de $- 206500000$ .

$x = \sqrt[3]{- 125000 (1652)}$

Étape 5.5.7.1.2

Réécrivez $- 125000$ comme ${(- 50)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 50)}^{3} \cdot 1652}$

Étape 5.5.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{826}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2478}{{(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 50 \sqrt[3]{1652}$ .

$- \frac{2478}{{(- 50)}^{4} {\sqrt[3]{1652}}^{4}}$

Étape 9.1.2

Élevez $- 50$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2478}{6250000 {\sqrt[3]{1652}}^{4}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{1652}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{1652^{4}}$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{1652^{4}}}$

Étape 9.1.4

Élevez $1652$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{7448008642816}}$

Étape 9.1.5

Réécrivez $7448008642816$ comme $1652^{3} \cdot 1652$ .

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Étape 9.1.5.1

Factorisez $4508479808$ à partir de $7448008642816$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{4508479808 (1652)}}$

Étape 9.1.5.2

Réécrivez $4508479808$ comme $1652^{3}$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{1652^{3} \cdot 1652}}$

Étape 9.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2478}{6250000 \cdot 1652 \sqrt[3]{1652}}$

Étape 9.1.7

Multipliez $6250000$ par $1652$ .

$- \frac{2478}{10325000000 \sqrt[3]{1652}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $2478$ et $10325000000$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $826$ à partir de $2478$ .

$- \frac{826 (3)}{10325000000 \sqrt[3]{1652}}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $826$ à partir de $10325000000 \sqrt[3]{1652}$ .

$- \frac{826 (3)}{826 (12500000 \sqrt[3]{1652})}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{826 \cdot 3}{826 (12500000 \sqrt[3]{1652})}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}$ .

$- (\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}})$

Étape 9.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \sqrt[3]{1652} {\sqrt[3]{1652}}^{2}}$

Étape 9.4.2

Déplacez $\sqrt[3]{1652}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 (\sqrt[3]{1652} {\sqrt[3]{1652}}^{2})}$

Étape 9.4.3

Élevez $\sqrt[3]{1652}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 ({\sqrt[3]{1652}}^{1} {\sqrt[3]{1652}}^{2})}$

Étape 9.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {\sqrt[3]{1652}}^{1 + 2}}$

Étape 9.4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {\sqrt[3]{1652}}^{3}}$

Étape 9.4.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{1652}}^{3}$ comme $1652$ .

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Étape 9.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{1652}$ comme $1652^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {(1652^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 9.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 9.4.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{3}{3}}}$

Étape 9.4.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{3}{3}}}$

Étape 9.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{1}}$

Étape 9.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{1652}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{1652^{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{1652^{2}}}{12500000 \cdot 1652}$

Étape 9.5.2

Élevez $1652$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{2729104}}{12500000 \cdot 1652}$

Étape 9.5.3

Réécrivez $2729104$ comme $2^{3} \cdot 341138$ .

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Étape 9.5.3.1

Factorisez $8$ à partir de $2729104$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{8 (341138)}}{12500000 \cdot 1652}$

Étape 9.5.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Étape 9.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{3 \cdot 2 \sqrt[3]{341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Étape 9.5.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{6 \sqrt[3]{341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Étape 9.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.6.1

Multipliez $12500000$ par $1652$ .

$- \frac{6 \sqrt[3]{341138}}{20650000000}$

Étape 9.6.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $20650000000$ .

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Étape 9.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt[3]{341138}$ .

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{20650000000}$

Étape 9.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20650000000$ .

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{2 (10325000000)}$

Étape 9.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{2 \cdot 10325000000}$

Étape 9.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 \sqrt[3]{341138}}{10325000000}$

Étape 10

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 50 \sqrt[3]{1652}$ dans l’expression.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 {(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{- 2} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{{(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 50 \sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{{(- 50)}^{2} {\sqrt[3]{1652}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.2.2

Élevez $- 50$ à la puissance $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 {\sqrt[3]{1652}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{1652}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{1652^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{1652^{2}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.2.4

Élevez $1652$ à la puissance $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{2729104}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.2.5

Réécrivez $2729104$ comme $2^{3} \cdot 341138$ .

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Étape 11.2.1.2.5.1

Factorisez $8$ à partir de $2729104$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{8 (341138)}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.2.5.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 341138}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \cdot (2 \sqrt[3]{341138})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.2.7

Multipliez $2500$ par $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 (\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.2

Déplacez $\sqrt[3]{341138}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 (\sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.3

Élevez $\sqrt[3]{341138}$ à la puissance $1$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 (\sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {\sqrt[3]{341138}}^{1 + 2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {\sqrt[3]{341138}}^{3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{341138}}^{3}$ comme $341138$ .

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Étape 11.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{341138}$ comme $341138^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {(341138^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{3}{3}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{3}{3}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{341138}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{341138^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{341138^{2}}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.5.2

Élevez $341138$ à la puissance $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{116375135044}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.5.3

Réécrivez $116375135044$ comme $413^{3} \cdot 1652$ .

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Étape 11.2.1.5.3.1

Factorisez $70444997$ à partir de $116375135044$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{70444997 (1652)}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.5.3.2

Réécrivez $70444997$ comme $413^{3}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{413^{3} \cdot 1652}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $5000$ par $341138$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{1705690000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.7

Annulez le facteur commun de $413$ .

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Étape 11.2.1.7.1

Factorisez $413$ à partir de $- 413$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 (- 1) (\frac{413 \sqrt[3]{1652}}{1705690000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.7.2

Factorisez $413$ à partir de $1705690000$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 \cdot (- 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 4130000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 \cdot (- 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 4130000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{4130000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.8

Annulez le facteur commun à $413$ et $4130000$ .

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Étape 11.2.1.8.1

Factorisez $413$ à partir de $413 \sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 (\sqrt[3]{1652})}{4130000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.8.2.1

Factorisez $413$ à partir de $4130000$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.9

Réécrivez $- 1 \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ comme $- \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Étape 11.2.1.10

Multipliez $0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$ .

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Étape 11.2.1.10.1

Multipliez $- 50$ par $0.000004$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} - 0.0002 \sqrt[3]{1652}$

Étape 11.2.1.10.2

Multipliez $- 0.0002$ par $\sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} - 0.00236428$

Étape 11.2.2

Soustrayez $0.00236428$ de $- \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 0.00354642$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 0.00354642$ .

$y = - 0.00354642$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ .

$(- 50 \sqrt[3]{1652}, - 0.00354642)$ est un maximum local

Étape 13