Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x e^{7 - 5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x e^{7 - 5 x^{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x e^{7 - 5 x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [e^{7 - 5 x^{2}}] + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 - 5 x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 - 5 x^{2}$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - 5 x^{2}]) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$7 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [7 - 5 x^{2}]) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - 5 x^{2}$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 - 5 x^{2}]) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (- 5 (2 x))) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 (x^{1} x (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 (x^{1} x^{1} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 (x^{1 + 1} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$7 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$7 (x^{2} (- 10 \cdot e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 (x^{2} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} \cdot 1)$

Étape 1.10

Multipliez $e^{7 - 5 x^{2}}$ par $1$ .

$7 (x^{2} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (x^{2} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}})) + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 1.11.2

Multipliez $- 10$ par $7$ .

$- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 70 e^{7 - 5 x^{2}} x^{2} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 1.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 70 e^{7 - 5 x^{2}} x^{2} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [7 e^{7 - 5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 70 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 - 5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 70 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{7 - 5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 - 5 x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $7 - 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (7 - 5 x^{2})) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (7 - 5 x^{2})) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $7 - 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (7 - 5 x^{2})) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}))) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}))) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} (0 - 5 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} (0 - 5 (2 x))) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} (0 - 5 (2 x))) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.9

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} (0 - 10 x)) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.10

Soustrayez $10 x$ de $0$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x)) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.11

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.11.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - 70 (x \cdot x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.11.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 70 (x \cdot x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 70 (x^{1 + 2} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.11.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.2.12

Déplacez $- 10$ à gauche de $e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (7 e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 e^{7 - 5 x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 e^{7 - 5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [e^{7 - 5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 \frac{d}{d x} (e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 - 5 x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 - 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (7 - 5 x^{2}))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (7 - 5 x^{2}))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 - 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (7 - 5 x^{2}))$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (e^{7 - 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2})))$

Étape 2.3.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (e^{7 - 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2})))$

Étape 2.3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (e^{7 - 5 x^{2}} (0 - 5 \frac{d}{d x} x^{2}))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (e^{7 - 5 x^{2}} (0 - 5 (2 x)))$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (e^{7 - 5 x^{2}} (0 - 10 x))$

Étape 2.3.8

Soustrayez $10 x$ de $0$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) + 7 (e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x))$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 10$ par $7$ .

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) - 70 e^{7 - 5 x^{2}} x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 70 (x^{3} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}})) - 70 (e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) - 70 e^{7 - 5 x^{2}} x$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 10$ par $- 70$ .

$f'' (x) = 700 (x^{3} (e^{7 - 5 x^{2}})) - 70 (e^{7 - 5 x^{2}} (2 x)) - 70 e^{7 - 5 x^{2}} x$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 70$ .

$f'' (x) = 700 x^{3} e^{7 - 5 x^{2}} - 140 (e^{7 - 5 x^{2}} (x)) - 70 e^{7 - 5 x^{2}} x$

Étape 2.4.2.3

Soustrayez $70 e^{7 - 5 x^{2}} x$ de $- 140 e^{7 - 5 x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 700 x^{3} e^{7 - 5 x^{2}} - 210 e^{7 - 5 x^{2}} x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 700 e^{7 - 5 x^{2}} x^{3} - 210 e^{7 - 5 x^{2}} x$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $700 e^{7 - 5 x^{2}} x^{3} - 210 e^{7 - 5 x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 700 x^{3} e^{7 - 5 x^{2}} - 210 x e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x e^{7 - 5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x e^{7 - 5 x^{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x e^{7 - 5 x^{2}}]$

Étape 4.1.2

$7 (x \frac{d}{d x} [e^{7 - 5 x^{2}}] + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 - 5 x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 - 5 x^{2}$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - 5 x^{2}]) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$7 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [7 - 5 x^{2}]) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - 5 x^{2}$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 - 5 x^{2}]) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (- 5 (2 x))) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.6

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$7 (x (e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 (x^{1} x (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 (x^{1} x^{1} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 (x^{1 + 1} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$7 (x^{2} (e^{7 - 5 x^{2}} \cdot (- 10)) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$7 (x^{2} (- 10 \cdot e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 (x^{2} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}} \cdot 1)$

Étape 4.1.10

Multipliez $e^{7 - 5 x^{2}}$ par $1$ .

$7 (x^{2} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}}) + e^{7 - 5 x^{2}})$

Étape 4.1.11

Simplifiez

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Étape 4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (x^{2} (- 10 e^{7 - 5 x^{2}})) + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 4.1.11.2

Multipliez $- 10$ par $7$ .

$- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 4.1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 70 e^{7 - 5 x^{2}} x^{2} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 4.1.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 70 e^{7 - 5 x^{2}} x^{2} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$f' (x) = - 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $7 e^{7 - 5 x^{2}}$ à partir de $- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}} + 7 e^{7 - 5 x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $7 e^{7 - 5 x^{2}}$ à partir de $- 70 x^{2} e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$7 e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x^{2}) + 7 e^{7 - 5 x^{2}} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $7 e^{7 - 5 x^{2}}$ à partir de $7 e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$7 e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x^{2}) + 7 e^{7 - 5 x^{2}} (1) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $7 e^{7 - 5 x^{2}}$ à partir de $7 e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x^{2}) + 7 e^{7 - 5 x^{2}} (1)$ .

$7 e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x^{2} + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{7 - 5 x^{2}} = 0$

$- 10 x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{7 - 5 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{7 - 5 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{7 - 5 x^{2}} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{7 - 5 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{7 - 5 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{7 - 5 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $- 10 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $- 10 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$- 10 x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $- 10 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 10 x^{2} = - 1$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 10 x^{2} = - 1$ par $- 10$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 10 x^{2} = - 1$ par $- 10$ .

$\frac{- 10 x^{2}}{- 10} = \frac{- 1}{- 10}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 10$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 10 x^{2}}{- 10} = \frac{- 1}{- 10}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 10}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{10}$

Étape 5.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{10}}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{10}}$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{10}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}}$

Étape 5.5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

Étape 5.5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 5.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 5.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Étape 5.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Étape 5.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 5.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{10^{1}}$

Étape 5.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 5.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 5.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 5.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $7 e^{7 - 5 x^{2}} (- 10 x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{10}}{10}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$700 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{3} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$700 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{10^{3}} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme $\sqrt{10^{3}}$ .

$700 \frac{\sqrt{10^{3}}}{10^{3}} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.2.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$700 \frac{\sqrt{1000}}{10^{3}} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

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Étape 9.1.2.3.1

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$700 \frac{\sqrt{100 (10)}}{10^{3}} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.2.3.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$700 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{10^{3}} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$700 \frac{10 \sqrt{10}}{10^{3}} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$700 \frac{10 \sqrt{10}}{1000} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $700$ .

$100 (7) \frac{10 \sqrt{10}}{1000} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.4.2

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$100 \cdot 7 \frac{10 \sqrt{10}}{100 \cdot 10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$100 \cdot 7 \frac{10 \sqrt{10}}{100 \cdot 10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$7 \frac{10 \sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.5

Associez $7$ et $\frac{10 \sqrt{10}}{10}$ .

$\frac{7 (10 \sqrt{10})}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.6

Multipliez $10$ par $7$ .

$\frac{70 \sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.7

Annulez le facteur commun à $70$ et $10$ .

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Étape 9.1.7.1

Factorisez $10$ à partir de $70 \sqrt{10}$ .

$\frac{10 (7 \sqrt{10})}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.7.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\frac{10 (7 \sqrt{10})}{10 (1)} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (7 \sqrt{10})}{10 \cdot 1} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 \sqrt{10}}{1} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.7.2.4

Divisez $7 \sqrt{10}$ par $1$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 9.1.8.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{1}}{10^{2}}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.2.5

Évaluez l’exposant.

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10}{10^{2}}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - 5 (\frac{10}{100})} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.8.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 + 5 (- 1) \frac{10}{100}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.4.2

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 + 5 \cdot - 1 \frac{10}{5 \cdot 20}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.4.3

Annulez le facteur commun.

$7 \sqrt{10} e^{7 + 5 \cdot - 1 \frac{10}{5 \cdot 20}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.4.4

Réécrivez l’expression.

$7 \sqrt{10} e^{7 - 1 (\frac{10}{20})} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.5

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 9.1.8.5.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 (1)}{20}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.8.5.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 \sqrt{10} e^{7 - 1 (\frac{1}{2})} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.8.6

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 - \frac{1}{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.9

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 \sqrt{10} e^{7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.10

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{7 \cdot 2 - 1}{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.12

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.12.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{14 - 1}{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.12.2

Soustrayez $1$ de $14$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 210 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.13

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.13.1

Factorisez $10$ à partir de $- 210$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 10 (- 21) \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 10 \cdot - 21 \frac{\sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 9.1.14

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.14.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 9.1.14.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.14.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 9.1.14.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Étape 9.1.14.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 9.1.14.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.14.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 9.1.14.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{1}}{10^{2}}}$

Étape 9.1.14.2.5

Évaluez l’exposant.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10}{10^{2}}}$

Étape 9.1.14.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 (\frac{10}{100})}$

Étape 9.1.14.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.14.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 + 5 (- 1) \frac{10}{100}}$

Étape 9.1.14.4.2

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 + 5 \cdot - 1 \frac{10}{5 \cdot 20}}$

Étape 9.1.14.4.3

Annulez le facteur commun.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 + 5 \cdot - 1 \frac{10}{5 \cdot 20}}$

Étape 9.1.14.4.4

Réécrivez l’expression.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 (\frac{10}{20})}$

Étape 9.1.14.5

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 9.1.14.5.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 (1)}{20}}$

Étape 9.1.14.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.14.5.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}}$

Étape 9.1.14.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}}$

Étape 9.1.14.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 9.1.14.6

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 - \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.15

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.16

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{\frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{\frac{7 \cdot 2 - 1}{2}}$

Étape 9.1.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.18.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{\frac{14 - 1}{2}}$

Étape 9.1.18.2

Soustrayez $1$ de $14$ .

$7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}$

Étape 9.2

Soustrayez $21 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}$ de $7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}$ .

$- 14 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt{10}}{10}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{10}}{10}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{10}}{10}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = 7 (\frac{\sqrt{10}}{10}) \cdot e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Associez $7$ et $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 11.2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 11.2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10^{1}}{10^{2}}}$

Étape 11.2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10}{10^{2}}}$

Étape 11.2.2.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 (\frac{10}{100})}$

Étape 11.2.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 11.2.2.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 + 5 (- 1) (\frac{10}{100})}$

Étape 11.2.2.4.2

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 + 5 \cdot (- 1 \frac{10}{5 \cdot 20})}$

Étape 11.2.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 + 5 \cdot (- 1 \frac{10}{5 \cdot 20})}$

Étape 11.2.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 (\frac{10}{20})}$

Étape 11.2.2.5

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 11.2.2.5.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 \frac{10 (1)}{20}}$

Étape 11.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.5.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}}$

Étape 11.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}}$

Étape 11.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.2.6

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.3

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.4

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{\frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{\frac{7 \cdot 2 - 1}{2}}$

Étape 11.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.6.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{\frac{14 - 1}{2}}$

Étape 11.2.6.2

Soustrayez $1$ de $14$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{\frac{13}{2}}$

Étape 11.2.7

Associez $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$ et $e^{\frac{13}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}}{10}$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $\frac{7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}}{10}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}}{10}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$700 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{3} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$700 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{3}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$700 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{10^{3}}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$700 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{10^{3}}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme $\sqrt{10^{3}}$ .

$700 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{10^{3}}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.3.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$700 (- \frac{\sqrt{1000}}{10^{3}}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.3.3

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

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Étape 13.1.3.3.1

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$700 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{10^{3}}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.3.3.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$700 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{10^{3}}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$700 (- \frac{10 \sqrt{10}}{10^{3}}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.4

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$700 (- \frac{10 \sqrt{10}}{1000}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 13.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10 \sqrt{10}}{1000}$ dans le numérateur.

$700 \frac{- 10 \sqrt{10}}{1000} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.5.2

Factorisez $100$ à partir de $700$ .

$100 (7) \frac{- 10 \sqrt{10}}{1000} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.5.3

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$100 \cdot 7 \frac{- 10 \sqrt{10}}{100 \cdot 10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$100 \cdot 7 \frac{- 10 \sqrt{10}}{100 \cdot 10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$7 \frac{- 10 \sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.6

Associez $7$ et $\frac{- 10 \sqrt{10}}{10}$ .

$\frac{7 (- 10 \sqrt{10})}{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.7

Multipliez $- 10$ par $7$ .

$\frac{- 70 \sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.8

Annulez le facteur commun à $- 70$ et $10$ .

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Étape 13.1.8.1

Factorisez $10$ à partir de $- 70 \sqrt{10}$ .

$\frac{10 (- 7 \sqrt{10})}{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.8.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\frac{10 (- 7 \sqrt{10})}{10 (1)} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (- 7 \sqrt{10})}{10 \cdot 1} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 7 \sqrt{10}}{1} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.8.2.4

Divisez $- 7 \sqrt{10}$ par $1$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2})} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}})} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 (1 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}})} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ par $1$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.4

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 13.1.9.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{1}}{10^{2}}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.4.5

Évaluez l’exposant.

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10}{10^{2}}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.5

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 5 (\frac{10}{100})} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.1.9.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 + 5 (- 1) \frac{10}{100}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.6.2

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 + 5 \cdot - 1 \frac{10}{5 \cdot 20}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.6.3

Annulez le facteur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{7 + 5 \cdot - 1 \frac{10}{5 \cdot 20}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.6.4

Réécrivez l’expression.

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 1 (\frac{10}{20})} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.7

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 13.1.9.7.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 (1)}{20}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.9.7.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - 1 (\frac{1}{2})} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.9.8

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 - \frac{1}{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.10

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.11

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{7 \cdot 2 - 1}{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.13.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{14 - 1}{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.13.2

Soustrayez $1$ de $14$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 210 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.14

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 13.1.14.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ dans le numérateur.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 210 \frac{- \sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.14.2

Factorisez $10$ à partir de $- 210$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 10 (- 21) \frac{- \sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.14.3

Annulez le facteur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 10 \cdot - 21 \frac{- \sqrt{10}}{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.14.4

Réécrivez l’expression.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} - 21 (- \sqrt{10}) e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.15

Multipliez $- 1$ par $- 21$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 13.1.16

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.16.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.16.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2})}$

Étape 13.1.16.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}})}$

Étape 13.1.16.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 (1 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}})}$

Étape 13.1.16.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ par $1$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 13.1.16.4

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 13.1.16.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 13.1.16.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Étape 13.1.16.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 13.1.16.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.16.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 13.1.16.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10^{1}}{10^{2}}}$

Étape 13.1.16.4.5

Évaluez l’exposant.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 \frac{10}{10^{2}}}$

Étape 13.1.16.5

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 5 (\frac{10}{100})}$

Étape 13.1.16.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.1.16.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 + 5 (- 1) \frac{10}{100}}$

Étape 13.1.16.6.2

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 + 5 \cdot - 1 \frac{10}{5 \cdot 20}}$

Étape 13.1.16.6.3

Annulez le facteur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 + 5 \cdot - 1 \frac{10}{5 \cdot 20}}$

Étape 13.1.16.6.4

Réécrivez l’expression.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 (\frac{10}{20})}$

Étape 13.1.16.7

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 13.1.16.7.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 (1)}{20}}$

Étape 13.1.16.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.16.7.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}}$

Étape 13.1.16.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}}$

Étape 13.1.16.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 13.1.16.8

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 - \frac{1}{2}}$

Étape 13.1.17

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 13.1.18

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{\frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 13.1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{\frac{7 \cdot 2 - 1}{2}}$

Étape 13.1.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.20.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{\frac{14 - 1}{2}}$

Étape 13.1.20.2

Soustrayez $1$ de $14$ .

$- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}} + 21 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}$

Étape 13.2

Additionnez $- 7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}$ et $21 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}$ .

$14 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = 7 (- \frac{\sqrt{10}}{10}) \cdot e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Multipliez $7 (- \frac{\sqrt{10}}{10})$ .

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - 7 \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 15.2.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{- 7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 15.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 15.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.3.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2})}$

Étape 15.2.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}))}$

Étape 15.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 (1 (\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}))}$

Étape 15.2.3.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 15.2.3.4

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 15.2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 15.2.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Étape 15.2.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 15.2.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 15.2.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10^{1}}{10^{2}}}$

Étape 15.2.3.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 \frac{10}{10^{2}}}$

Étape 15.2.3.5

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 5 (\frac{10}{100})}$

Étape 15.2.3.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 + 5 (- 1) (\frac{10}{100})}$

Étape 15.2.3.6.2

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 + 5 \cdot (- 1 \frac{10}{5 \cdot 20})}$

Étape 15.2.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 + 5 \cdot (- 1 \frac{10}{5 \cdot 20})}$

Étape 15.2.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 (\frac{10}{20})}$

Étape 15.2.3.7

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 15.2.3.7.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 \frac{10 (1)}{20}}$

Étape 15.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.3.7.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}}$

Étape 15.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}}$

Étape 15.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 15.2.3.8

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 - \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.4

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.5

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{\frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{\frac{7 \cdot 2 - 1}{2}}$

Étape 15.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.7.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{\frac{14 - 1}{2}}$

Étape 15.2.7.2

Soustrayez $1$ de $14$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 \sqrt{10}}{10} \cdot e^{\frac{13}{2}}$

Étape 15.2.8

Associez $e^{\frac{13}{2}}$ et $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{e^{\frac{13}{2}} (7 \sqrt{10})}{10}$

Étape 15.2.9

Déplacez $7$ à gauche de $e^{\frac{13}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{10}) = - \frac{7 e^{\frac{13}{2}} \sqrt{10}}{10}$

Étape 15.2.10

La réponse finale est $- \frac{7 e^{\frac{13}{2}} \sqrt{10}}{10}$ .

$y = - \frac{7 e^{\frac{13}{2}} \sqrt{10}}{10}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 7 x e^{7 - 5 x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{7 \sqrt{10} e^{\frac{13}{2}}}{10})$ est un maximum local

$(- \frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{7 e^{\frac{13}{2}} \sqrt{10}}{10})$ est un minimum local

Étape 17