Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$8 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Étape 1.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$8 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 16 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 16 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 16 (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 16 \sin (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 16 \cos^{2} (x) - 16 (- \sin^{2} (x)) + 16 \sin (x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$f'' (x) = - 16 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x) = 0$

Étape 4

Factorisez $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $16 \cos (x)$ à partir de $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $16 \cos (x)$ à partir de $- 16 \cos (x) \sin (x)$ .

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 16 \cos (x) = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $16 \cos (x)$ à partir de $- 16 \cos (x)$ .

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 16 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $16 \cos (x)$ à partir de $16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 16 \cos (x) \cdot - 1$ .

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$16 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Étape 6

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 7

Définissez $- \sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $- \sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- \sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Étape 7.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 7.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 7.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 7.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 7.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 7.2.7

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 16 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 16 \cdot 0^{2} + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 16 \cdot 0 + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$0 + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 16 \cdot 1^{2} + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 16 \cdot 1 + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.6

Multipliez $16$ par $1$ .

$0 + 16 + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 16 + 16 \cdot 1$

Étape 10.1.8

Multipliez $16$ par $1$ .

$0 + 16 + 16$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $16$ .

$16 + 16$

Étape 10.2.2

Additionnez $16$ et $16$ .

$32$

Étape 11

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cdot 0^{2} - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cdot 0 - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16 \cdot 1$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16$

Étape 12.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 16$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$y = - 16$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 16 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 16 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 16 \cdot 0^{2} + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 16 \cdot 0 + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$0 + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$0 + 16 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 16 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 16 {(- 1)}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$0 + 16 \cdot 1 + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.9

Multipliez $16$ par $1$ .

$0 + 16 + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.10

$0 + 16 + 16 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 14.1.11

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 16 + 16 (- 1 \cdot 1)$

Étape 14.1.12

Multipliez $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 14.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 16 + 16 \cdot - 1$

Étape 14.1.12.2

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$0 + 16 - 16$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.2.1

Additionnez $0$ et $16$ .

$16 - 16$

Étape 14.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0$

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = - 16 \cos (- 4) \sin (- 4) - 16 \cos (- 4)$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1.1

Évaluez $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 16 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 16 \cos (- 4)$

Étape 15.2.2.1.2

Multipliez $- 16$ par $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 10.45829793 \sin (- 4) - 16 \cos (- 4)$

Étape 15.2.2.1.3

Évaluez $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 10.45829793 \cdot 0.75680249 - 16 \cos (- 4)$

Étape 15.2.2.1.4

Multipliez $10.45829793$ par $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 - 16 \cos (- 4)$

Étape 15.2.2.1.5

Évaluez $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 - 16 \cdot - 0.65364362$

Étape 15.2.2.1.6

Multipliez $- 16$ par $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 + 10.45829793$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $7.91486597$ et $10.45829793$ .

$f' (- 4) = 18.3731639$

Étape 15.2.2.3

La réponse finale est $18.3731639$ .

$18.3731639$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - 16 \cos (0) \sin (0) - 16 \cos (0)$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.3.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = - 16 \cdot (1 \sin (0)) - 16 \cos (0)$

Étape 15.3.2.1.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f' (0) = - 16 \sin (0) - 16 \cos (0)$

Étape 15.3.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f' (0) = - 16 \cdot 0 - 16 \cos (0)$

Étape 15.3.2.1.4

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 16 \cos (0)$

Étape 15.3.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = 0 - 16 \cdot 1$

Étape 15.3.2.1.6

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f' (0) = 0 - 16$

Étape 15.3.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f' (0) = - 16$

Étape 15.3.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$- 16$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ dans la dérivée première $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - 16 \cos (3) \sin (3) - 16 \cos (3)$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.4.2.1.1

Évaluez $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 16 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 16 \cos (3)$

Étape 15.4.2.1.2

Multipliez $- 16$ par $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 15.83987994 \sin (3) - 16 \cos (3)$

Étape 15.4.2.1.3

Évaluez $\sin (3)$ .

$f' (3) = 15.83987994 \cdot 0.14112 - 16 \cos (3)$

Étape 15.4.2.1.4

Multipliez $15.83987994$ par $0.14112$ .

$f' (3) = 2.23532398 - 16 \cos (3)$

Étape 15.4.2.1.5

Évaluez $\cos (3)$ .

$f' (3) = 2.23532398 - 16 \cdot - 0.98999249$

Étape 15.4.2.1.6

Multipliez $- 16$ par $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 2.23532398 + 15.83987994$

Étape 15.4.2.2

Additionnez $2.23532398$ et $15.83987994$ .

$f' (3) = 18.07520393$

Étape 15.4.2.3

La réponse finale est $18.07520393$ .

$18.07520393$

Étape 15.5

Remplacez tout nombre, tel que $7$ , de l’intervalle $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dans la dérivée première $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.5.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = - 16 \cos (7) \sin (7) - 16 \cos (7)$

Étape 15.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.5.2.1.1

Évaluez $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 16 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 16 \cos (7)$

Étape 15.5.2.1.2

Multipliez $- 16$ par $0.75390225$ .

$f' (7) = - 12.06243606 \sin (7) - 16 \cos (7)$

Étape 15.5.2.1.3

Évaluez $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 12.06243606 \cdot 0.65698659 - 16 \cos (7)$

Étape 15.5.2.1.4

Multipliez $- 12.06243606$ par $0.65698659$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 16 \cos (7)$

Étape 15.5.2.1.5

Évaluez $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 16 \cdot 0.75390225$

Étape 15.5.2.1.6

Multipliez $- 16$ par $0.75390225$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 12.06243606$

Étape 15.5.2.2

Soustrayez $12.06243606$ de $- 7.92485884$ .

$f' (7) = - 19.98729491$

Étape 15.5.2.3

La réponse finale est $- 19.98729491$ .

$- 19.98729491$

Étape 15.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - \frac{π}{2}$ , $x = - \frac{π}{2}$ est un maximum local.

$x = - \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 15.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ est un minimum local.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 15.8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

Étape 15.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ est un maximum local

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

$x = - \frac{π}{2}$ est un maximum local

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

Étape 16