Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{6}{7}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

$6 + 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{6}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $7$ de $6$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}})$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}})$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{6}{7}$ et $x^{- \frac{1}{7}}$ .

$6 + 7 \frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Étape 1.3.9

Associez $7$ et $\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$ .

$6 + \frac{7 (6 x^{- \frac{1}{7}})}{7}$

Étape 1.3.10

Multipliez $6$ par $7$ .

$6 + \frac{42 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Étape 1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 + \frac{42}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 1.3.12

Factorisez $7$ à partir de $42$ .

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.13.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{\frac{1}{7}}$ .

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 (x^{\frac{1}{7}})}$

Étape 1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 2.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}})$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{7}}))$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{7}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- {(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{7}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- {(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{\frac{1}{7} \cdot - 2} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Étape 2.2.5.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{\frac{- 2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Étape 2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Étape 2.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}))$

Étape 2.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}))$

Étape 2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}}))$

Étape 2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}}))$

Étape 2.2.9.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}}))$

Étape 2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}}))$

Étape 2.2.11

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7})$

Étape 2.2.12

Associez $\frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$ et $x^{- \frac{2}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{6}{7}} x^{- \frac{2}{7}}}{7})$

Étape 2.2.13

Multipliez $x^{- \frac{6}{7}}$ par $x^{- \frac{2}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{6}{7} - \frac{2}{7}}}{7})$

Étape 2.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{\frac{- 6 - 2}{7}}}{7})$

Étape 2.2.13.3

Soustrayez $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{\frac{- 8}{7}}}{7})$

Étape 2.2.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{8}{7}}}{7})$

Étape 2.2.14

Placez $x^{- \frac{8}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}})$

Étape 2.2.15

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = 0 - 6 \frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Étape 2.2.16

Associez $- 6$ et $\frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Étape 2.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - \frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{6}{7}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

$f' (x) = 6 + 7 \frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}})$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{6}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1})$

Étape 4.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Étape 4.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 4.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}})$

Étape 4.1.3.6.2

Soustrayez $7$ de $6$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}})$

Étape 4.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}})$

Étape 4.1.3.8

Associez $\frac{6}{7}$ et $x^{- \frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7})$

Étape 4.1.3.9

Associez $7$ et $\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 (6 x^{- \frac{1}{7}})}{7}$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $6$ par $7$ .

$f' (x) = 6 + \frac{42 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Étape 4.1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{42}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 4.1.3.12

Factorisez $7$ à partir de $42$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 4.1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.13.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 (x^{\frac{1}{7}})}$

Étape 4.1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 4.1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{1}{7}}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$ par $x^{\frac{1}{7}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$ par $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} x^{\frac{1}{7}} = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} x^{\frac{1}{7}} = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ .

$- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{7}}}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{7}}}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{7}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{7}} = \frac{6}{- 6}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $6$ par $- 6$ .

$x^{\frac{1}{7}} = - 1$

Étape 5.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $7$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 1)}^{7}$

Étape 5.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 1)}^{7}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 1)}^{7}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{7}$

Étape 5.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{7}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$x = - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$6 + \frac{6}{\sqrt[7]{x^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$6 + \frac{6}{\sqrt[7]{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{\sqrt[7]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[7]{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $7$ .

${\sqrt[7]{x}}^{7} = 0^{7}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x}$ comme $x^{\frac{1}{7}}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{7}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{7}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{\frac{8}{7}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{7}$ .

$- \frac{6}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{8}{7}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{8}{7})}}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{8}{7})}}$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{8}}$

Étape 9.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $8$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 1}$

Étape 9.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$- \frac{6}{7}$

Étape 10

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 6 (- 1) + 7 {(- 1)}^{\frac{6}{7}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{\frac{6}{7}}$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{7}$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{6}{7}}$

Étape 11.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{7 (\frac{6}{7})}$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{7 (\frac{6}{7})}$

Étape 11.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{6}$

Étape 11.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 \cdot 1$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (- 1) = - 6 + 7$

Étape 11.2.2

Additionnez $- 6$ et $7$ .

$f (- 1) = 1$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{6}{7 {(0)}^{\frac{8}{7}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

$- \frac{6}{7 {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{8}}$

Étape 13.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 0}$

Étape 13.3.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Étape 13.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{6}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f' (- 0.5) = 6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$

Étape 14.3.2

La réponse finale est $6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 6 + \frac{6}{{(2)}^{\frac{1}{7}}}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (2) = 6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$

Étape 14.4.2.2

La réponse finale est $6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$

Étape 14.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 1$ , $x = - 1$ est un maximum local.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 14.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ .

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

Étape 15