Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 (2 x)$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $30$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x^{4}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $30$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 60 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 60$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 30$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + \frac{d}{d x} (60 x)$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60 \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $60$ par $1$ .

$f'' (x) = 120 x^{3} - 180 x^{2} - 60 x + 60$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 30 (2 x)$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $2$ par $30$ .

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $30 x$ à partir de $30 x^{4} - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $30 x$ à partir de $30 x^{4}$ .

$30 x (x^{3}) - 60 x^{3} - 30 x^{2} + 60 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $30 x$ à partir de $- 60 x^{3}$ .

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) - 30 x^{2} + 60 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $30 x$ à partir de $- 30 x^{2}$ .

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 60 x = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $30 x$ à partir de $60 x$ .

$30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 30 x (2) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $30 x$ à partir de $30 x (x^{3}) + 30 x (- 2 x^{2})$ .

$30 x (x^{3} - 2 x^{2}) + 30 x (- x) + 30 x (2) = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $30 x$ à partir de $30 x (x^{3} - 2 x^{2}) + 30 x (- x)$ .

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x) + 30 x (2) = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $30 x$ à partir de $30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x) + 30 x (2)$ .

$30 x (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$30 x ((x^{3} - 2 x^{2}) - x + 2) = 0$

Étape 5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$30 x (x^{2} (x - 2) - (x - 2)) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2$ .

$30 x ((x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Étape 5.2.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$30 x ((x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez.

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Étape 5.2.5.1

Factorisez.

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Étape 5.2.5.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$30 x ((x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Étape 5.2.5.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$30 x ((x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 5.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$30 x (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.7

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $30 x (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 1, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 2, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$120 {(0)}^{3} - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$120 \cdot 0 - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

Étape 9.1.2

Multipliez $120$ par $0$ .

$0 - 180 {(0)}^{2} - 60 \cdot 0 + 60$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 180 \cdot 0 - 60 \cdot 0 + 60$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 180$ par $0$ .

$0 + 0 - 60 \cdot 0 + 60$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 60$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 60$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 60$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 60$

Étape 9.2.3

Additionnez $0$ et $60$ .

$60$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 6 {(0)}^{5} - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 15 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 15 \cdot 0 - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 10 {(0)}^{3} + 30 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 30 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 30 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 30 \cdot 0$

Étape 11.2.1.8

Multipliez $30$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$120 {(2)}^{3} - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$120 \cdot 8 - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

Étape 13.1.2

Multipliez $120$ par $8$ .

$960 - 180 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 60$

Étape 13.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$960 - 180 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 60$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 180$ par $4$ .

$960 - 720 - 60 \cdot 2 + 60$

Étape 13.1.5

Multipliez $- 60$ par $2$ .

$960 - 720 - 120 + 60$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Soustrayez $720$ de $960$ .

$240 - 120 + 60$

Étape 13.2.2

Soustrayez $120$ de $240$ .

$120 + 60$

Étape 13.2.3

Additionnez $120$ et $60$ .

$180$

Étape 14

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 6 {(2)}^{5} - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (2) = 6 \cdot 32 - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $6$ par $32$ .

$f (2) = 192 - 15 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Étape 15.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 192 - 15 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $16$ .

$f (2) = 192 - 240 - 10 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

Étape 15.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = 192 - 240 - 10 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $- 10$ par $8$ .

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 30 {(2)}^{2}$

Étape 15.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 30 \cdot 4$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $30$ par $4$ .

$f (2) = 192 - 240 - 80 + 120$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Soustrayez $240$ de $192$ .

$f (2) = - 48 - 80 + 120$

Étape 15.2.2.2

Soustrayez $80$ de $- 48$ .

$f (2) = - 128 + 120$

Étape 15.2.2.3

Additionnez $- 128$ et $120$ .

$f (2) = - 8$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$y = - 8$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$120 {(- 1)}^{3} - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$120 \cdot - 1 - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

Étape 17.1.2

Multipliez $120$ par $- 1$ .

$- 120 - 180 {(- 1)}^{2} - 60 \cdot - 1 + 60$

Étape 17.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 120 - 180 \cdot 1 - 60 \cdot - 1 + 60$

Étape 17.1.4

Multipliez $- 180$ par $1$ .

$- 120 - 180 - 60 \cdot - 1 + 60$

Étape 17.1.5

Multipliez $- 60$ par $- 1$ .

$- 120 - 180 + 60 + 60$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Soustrayez $180$ de $- 120$ .

$- 300 + 60 + 60$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 300$ et $60$ .

$- 240 + 60$

Étape 17.2.3

Additionnez $- 240$ et $60$ .

$- 180$

Étape 18

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- 1) = 6 \cdot - 1 - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 \cdot 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 - 10 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 - 10 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30 {(- 1)}^{2}$

Étape 19.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30 \cdot 1$

Étape 19.2.1.8

Multipliez $30$ par $1$ .

$f (- 1) = - 6 - 15 + 10 + 30$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Soustrayez $15$ de $- 6$ .

$f (- 1) = - 21 + 10 + 30$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 21$ et $10$ .

$f (- 1) = - 11 + 30$

Étape 19.2.2.3

Additionnez $- 11$ et $30$ .

$f (- 1) = 19$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $19$ .

$y = 19$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$120 {(1)}^{3} - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$120 \cdot 1 - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

Étape 21.1.2

Multipliez $120$ par $1$ .

$120 - 180 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 60$

Étape 21.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$120 - 180 \cdot 1 - 60 \cdot 1 + 60$

Étape 21.1.4

Multipliez $- 180$ par $1$ .

$120 - 180 - 60 \cdot 1 + 60$

Étape 21.1.5

Multipliez $- 60$ par $1$ .

$120 - 180 - 60 + 60$

Étape 21.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.2.1

Soustrayez $180$ de $120$ .

$- 60 - 60 + 60$

Étape 21.2.2

Soustrayez $60$ de $- 60$ .

$- 120 + 60$

Étape 21.2.3

Additionnez $- 120$ et $60$ .

$- 60$

Étape 22

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 6 {(1)}^{5} - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 6 \cdot 1 - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Étape 23.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (1) = 6 - 15 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Étape 23.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 6 - 15 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Étape 23.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$f (1) = 6 - 15 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2}$

Étape 23.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 6 - 15 - 10 \cdot 1 + 30 {(1)}^{2}$

Étape 23.2.1.6

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30 {(1)}^{2}$

Étape 23.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30 \cdot 1$

Étape 23.2.1.8

Multipliez $30$ par $1$ .

$f (1) = 6 - 15 - 10 + 30$

Étape 23.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.2.1

Soustrayez $15$ de $6$ .

$f (1) = - 9 - 10 + 30$

Étape 23.2.2.2

Soustrayez $10$ de $- 9$ .

$f (1) = - 19 + 30$

Étape 23.2.2.3

Additionnez $- 19$ et $30$ .

$f (1) = 11$

Étape 23.2.3

La réponse finale est $11$ .

$y = 11$

Étape 24

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(2, - 8)$ est un minimum local

$(- 1, 19)$ est un maximum local

$(1, 11)$ est un maximum local

Étape 25