Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + \cos (2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

Étape 1.3.7

Additionnez $2$ et $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

Étape 1.3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Étape 2.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Étape 2.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

Étape 2.2.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

Étape 2.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

Étape 2.2.10

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

Étape 2.3

Soustrayez $4 \cos (2 x + 1)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

Étape 4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (2 x + 1)$ par $1$ .

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

Étape 6

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\frac{5}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur $x =$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \cos (2 + 1)$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 4 \cos (3)$

Étape 8.2

Évaluez $\cos (3)$ .

$- 4 \cdot 0.99862953$

Étape 8.3

Multipliez $- 4$ par $0.99862953$ .

$- 3.99451813$

Étape 9

$x =$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x =$ est un maximum local

Étape 10

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ est un maximum local

Étape 11