Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$5 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ et $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 24$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + 48 \sin (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (2 x)$ .

$\frac{- 10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Étape 5

Séparez les fractions.

$\frac{- 10}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Étape 6

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\frac{- 10}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Étape 7

Divisez $- 10$ par $1$ .

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Étape 8.2

Divisez $- 24$ par $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Étape 11

Divisez $0$ par $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0 \sec (2 x)$

Étape 12

Multipliez $0$ par $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0$

Étape 13

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$- 10 \tan (2 x) = 24$

Étape 14

Divisez chaque terme dans $- 10 \tan (2 x) = 24$ par $- 10$ et simplifiez.

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Étape 14.1

Divisez chaque terme dans $- 10 \tan (2 x) = 24$ par $- 10$ .

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Étape 14.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $- 10$ .

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Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Étape 14.2.1.2

Divisez $\tan (2 x)$ par $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{24}{- 10}$

Étape 14.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.3.1

Annulez le facteur commun à $24$ et $- 10$ .

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Étape 14.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 (12)}{- 10}$

Étape 14.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Étape 14.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Étape 14.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (2 x) = \frac{12}{- 5}$

Étape 14.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (2 x) = - \frac{12}{5}$

Étape 15

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x = \arctan (- \frac{12}{5})$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.1

Évaluez $\arctan (- \frac{12}{5})$ .

$2 x = - 1.1760052$

Étape 17

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1.1760052$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 17.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1.1760052$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Étape 17.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 17.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Étape 17.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1.1760052}{2}$

Étape 17.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.3.1

Divisez $- 1.1760052$ par $2$ .

$x = - 0.5880026$

Étape 18

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265)$

Étape 19

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 19.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 19.2

L’angle résultant de $1.96558744$ est positif et coterminal avec $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = 1.96558744$

Étape 19.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 1.96558744$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 19.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1.96558744$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Étape 19.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 19.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Étape 19.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1.96558744}{2}$

Étape 19.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 19.3.3.1

Divisez $1.96558744$ par $2$ .

$x = 0.98279372$

Étape 20

La solution de l’équation est $2 x = - 1.1760052$ .

$x = - 0.5880026, 0.98279372$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.5880026$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 \cos (2 (- 0.5880026)) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Étape 22

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.1

Multipliez $2$ par $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Étape 22.2

Multipliez $2$ par $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (- 1.1760052)$

Étape 23

$x = - 0.5880026$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.5880026$ est un maximum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.5880026$ .

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Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5880026$ dans l’expression.

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (2 (- 0.5880026)) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Étape 24.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Étape 24.2.2

La réponse finale est $5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$ .

$y = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.98279372$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 \cos (2 (0.98279372)) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Étape 26

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1

Multipliez $2$ par $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Étape 26.2

Multipliez $2$ par $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (1.96558744)$

Étape 27

$x = 0.98279372$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.98279372$ est un minimum local

Étape 28

Déterminez la valeur y quand $x = 0.98279372$ .

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Étape 28.1

Remplacez la variable $x$ par $0.98279372$ dans l’expression.

$f (0.98279372) = 5 \cos (2 (0.98279372)) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Étape 28.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 28.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 28.2.1.1

Multipliez $2$ par $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Étape 28.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Étape 28.2.2

La réponse finale est $5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$ .

$y = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Étape 29

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ .

$(- 0.5880026, 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3)$ est un maximum local

$(0.98279372, 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3)$ est un minimum local

Étape 30