Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 1.5

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Étape 2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x))$

Étape 2.13.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 5

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 6

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 6.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 10 \cdot 1^{2}$

Étape 9.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 10 \cdot 1$

Étape 9.1.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$0 + 10$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $10$ .

$10$

Étape 10

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Étape 11.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0$

Étape 11.2.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Étape 13.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 13.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 10 {(- 1)}^{2}$

Étape 13.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$0 + 10 \cdot 1$

Étape 13.1.9

Multipliez $10$ par $1$ .

$0 + 10$

Étape 13.2

Additionnez $0$ et $10$ .

$10$

Étape 14

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 15.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Étape 15.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0$

Étape 15.2.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Étape 15.2.5

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 10 \cos^{2} (0) + 10 \sin^{2} (0)$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin^{2} (0)$

Étape 17.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (0)$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Étape 17.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Étape 17.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Étape 17.1.6

Multipliez $10$ par $0$ .

$- 10 + 0$

Étape 17.2

Additionnez $- 10$ et $0$ .

$- 10$

Étape 18

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 5 \cos^{2} (0)$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 5 \cdot 1^{2}$

Étape 19.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (0) = 5 \cdot 1$

Étape 19.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (0) = 5$

Étape 19.2.4

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 10 \cos^{2} (π) + 10 \sin^{2} (π)$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 10 {(- \cos (0))}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Étape 21.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Étape 21.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Étape 21.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (π)$

Étape 21.1.5

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (π)$

Étape 21.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Étape 21.1.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Étape 21.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Étape 21.1.9

Multipliez $10$ par $0$ .

$- 10 + 0$

Étape 21.2

Additionnez $- 10$ et $0$ .

$- 10$

Étape 22

$x = π$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un maximum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = 5 \cos^{2} (π)$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 23.2.1

$f (π) = 5 {(- \cos (0))}^{2}$

Étape 23.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 23.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1)}^{2}$

Étape 23.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (π) = 5 \cdot 1$

Étape 23.2.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (π) = 5$

Étape 23.2.6

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 24

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 0)$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ est un minimum local

$(0, 5)$ est un maximum local

$(π, 5)$ est un maximum local

Étape 25