Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ et $g (x) = 6 + 5 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 + 5 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 + 5 x$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 1.2.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 1.2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1))$

Étape 1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Étape 1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Étape 1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Étape 1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Étape 1.2.10.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Étape 1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Étape 1.2.12

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5))$

Étape 1.2.13

Additionnez $0$ et $5$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

Étape 1.2.14

Associez $\frac{2}{5}$ et ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

Étape 1.2.15

Associez $\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ et $5$ .

$0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Étape 1.2.16

Multipliez $5$ par $2$ .

$0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Étape 1.2.17

Placez ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 1.2.18

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 1.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.19.1

Factorisez $5$ à partir de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Étape 1.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 1.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 1.3

Soustrayez $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ de $0$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ comme ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot - 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}}$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{3}{5}}$ et $g (x) = 6 + 5 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 + 5 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} u^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 + 5 x$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.6.2

Soustrayez $5$ de $- 3$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.7.2

Associez ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ et $\frac{3}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{{(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.3.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3 \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.7.3.2

Placez ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.7.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 2.7.4

Associez $\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

Étape 2.7.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))$

Étape 2.9

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (5 x))$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.12

Simplifiez les termes.

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Étape 2.12.1

Associez $5$ et $\frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.12.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{30}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.12.3

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $5$ à partir de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}})} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot 1$

Étape 2.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.15.1

Multipliez $\frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$

Étape 2.15.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{6}{{(5 x + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

Étape 4.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ et $g (x) = 6 + 5 x$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 + 5 x$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 4.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 + 5 x$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))))$

Étape 4.1.2.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (5 x))))$

Étape 4.1.2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} (x))))$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1)))$

Étape 4.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Étape 4.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Étape 4.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Étape 4.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Étape 4.1.2.10.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Étape 4.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5)))$

Étape 4.1.2.13

Additionnez $0$ et $5$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

Étape 4.1.2.14

Associez $\frac{2}{5}$ et ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

Étape 4.1.2.15

Associez $\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ et $5$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $5$ par $2$ .

$f' (x) = 0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Étape 4.1.2.17

Placez ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 4.1.2.18

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 4.1.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.19.1

Factorisez $5$ à partir de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Étape 4.1.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 4.1.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 5.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}$ comme ${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 + 5 x)}^{3} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(6 + 5 x)}^{3} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez le $6 + 5 x$ égal à $0$ .

$6 + 5 x = 0$

Étape 6.3.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 6$

Étape 6.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 6$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 6$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Étape 6.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Étape 6.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{6}{5}$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{6}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{6}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{6}{{(5 (- \frac{6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{{(- 6 + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{6}{0^{\frac{8}{5}}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$\frac{6}{{(0^{5})}^{\frac{8}{5}}}$

Étape 9.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

Étape 9.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{0^{8}}$

Étape 9.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{6}{0}$

Étape 9.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{6}{5})$ dans la dérivée première $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 + 5 (- 4))}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 - 20)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 10.2.2.1.2

Soustrayez $20$ de $6$ .

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 10.2.2.2

La réponse finale est $- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \frac{6}{5}, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 5 (0))}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 0)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 10.3.2.1.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$f' (0) = - \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

Étape 10.3.2.2

La réponse finale est $- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

Étape 10.4

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - \frac{6}{5}$ , $x = - \frac{6}{5}$ est un maximum local.

$x = - \frac{6}{5}$ est un maximum local

Étape 11