Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x \ln (x) - 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.2.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $7$ de $4$ .

$4 \ln (x) - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \ln (x) - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $\frac{4}{x}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x \ln (x) - 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Étape 4.1.4.2.2

Soustrayez $7$ de $4$ .

$f' (x) = 4 \ln (x) - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 \ln (x) - 3$ .

$4 \ln (x) - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 \ln (x) - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \ln (x) = 3$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 \ln (x) = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 \ln (x) = 3$ par $4$ .

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{3}{4}$

Étape 5.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\ln (x) = \frac{3}{4}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{4}} = x$

Étape 5.6

Réécrivez l’équation comme $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 6.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = e^{\frac{3}{4}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{e^{\frac{3}{4}}}$

Étape 9

$x = e^{\frac{3}{4}}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = e^{\frac{3}{4}}$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $e^{\frac{3}{4}}$ dans l’expression.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) \ln (e^{\frac{3}{4}}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{3}{4}$ de l’exposant.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot \ln (e)) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2.1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot 1) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = e^{\frac{3}{4}} \cdot 3 - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 3 e^{\frac{3}{4}} - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $7 e^{\frac{3}{4}}$ de $3 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $- 4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$y = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$ .

$(e^{\frac{3}{4}}, - 4 e^{\frac{3}{4}})$ est un minimum local

Étape 12