Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{3} e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$5 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{3} (- e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 (x^{3} (e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 e^{- x} x^{2}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$

Étape 1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{3} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3} e^{- x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.2

$f'' (x) = - 5 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (15 x^{2} e^{- x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{2} e^{- x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{2} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x))$

Étape 2.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x))$

Étape 2.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x})) - 5 (e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x))$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 5 (x^{3} (- e^{- x})) - 5 (e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (- e^{- x})) + 15 (e^{- x} (2 x))$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f'' (x) = 5 (x^{3} (e^{- x})) - 5 (e^{- x} (3 x^{2})) + 15 (x^{2} (- e^{- x})) + 15 (e^{- x} (2 x))$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} e^{- x} - 15 (e^{- x} (x^{2})) + 15 (x^{2} (- e^{- x})) + 15 (e^{- x} (2 x))$

Étape 2.4.3.3

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} e^{- x} - 15 e^{- x} x^{2} - 15 (x^{2} (e^{- x})) + 15 (e^{- x} (2 x))$

Étape 2.4.3.4

Multipliez $2$ par $15$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} e^{- x} - 15 e^{- x} x^{2} - 15 x^{2} e^{- x} + 30 (e^{- x} (x))$

Étape 2.4.3.5

Soustrayez $15 x^{2} e^{- x}$ de $- 15 e^{- x} x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.5.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} e^{- x} - 15 x^{2} e^{- x} - 15 x^{2} e^{- x} + 30 e^{- x} x$

Étape 2.4.3.5.2

Soustrayez $15 x^{2} e^{- x}$ de $- 15 x^{2} e^{- x}$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} e^{- x} - 30 x^{2} e^{- x} + 30 e^{- x} x$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 5 e^{- x} x^{3} - 30 e^{- x} x^{2} + 30 e^{- x} x$

Étape 2.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 e^{- x} x^{3} - 30 e^{- x} x^{2} + 30 e^{- x} x$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} e^{- x} - 30 x^{2} e^{- x} + 30 x e^{- x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x})$

Étape 4.1.2

$f' (x) = 5 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 5 (x^{3} (- e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 4.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = - 5 (x^{3} (e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f' (x) = - 5 x^{3} e^{- x} + 15 e^{- x} x^{2}$

Étape 4.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$

Étape 4.1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$ .

$f' (x) = - 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $5 x^{2} e^{- x}$ à partir de $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $5 x^{2} e^{- x}$ à partir de $- 5 x^{3} e^{- x}$ .

$5 x^{2} e^{- x} (- x) + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $5 x^{2} e^{- x}$ à partir de $15 x^{2} e^{- x}$ .

$5 x^{2} e^{- x} (- x) + 5 x^{2} e^{- x} (3) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $5 x^{2} e^{- x}$ à partir de $5 x^{2} e^{- x} (- x) + 5 x^{2} e^{- x} (3)$ .

$5 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 5.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.6

Définissez $- x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $- x + 3$ égal à $0$ .

$- x + 3 = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez $- x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 5.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$5 {(0)}^{3} e^{- (0)} - 30 {(0)}^{2} e^{- (0)} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 \cdot 0 e^{- (0)} - 30 {(0)}^{2} e^{- (0)} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 e^{- (0)} - 30 {(0)}^{2} e^{- (0)} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 e^{0} - 30 {(0)}^{2} e^{- (0)} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 - 30 {(0)}^{2} e^{- (0)} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 30 {(0)}^{2} e^{- (0)} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 30 \cdot 0 e^{- (0)} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.7

Multipliez $- 30$ par $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.10

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 30 (0) e^{- (0)}$

Étape 9.1.11

Multipliez $30$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Étape 9.1.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Étape 9.1.13

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Étape 9.1.14

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 5 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)} + 15 {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 5 \cdot (- 8 e^{- (- 2)}) + 15 {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = 40 e^{- (- 2)} + 15 {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 40 e^{2} + 15 {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 40 e^{2} + 15 \cdot (4 e^{- (- 2)})$

Étape 10.2.2.1.5

Multipliez $15$ par $4$ .

$f' (- 2) = 40 e^{2} + 60 e^{- (- 2)}$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 40 e^{2} + 60 e^{2}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $40 e^{2}$ et $60 e^{2}$ .

$f' (- 2) = 100 e^{2}$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $100 e^{2}$ .

$100 e^{2}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée première $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 5 {(2)}^{3} e^{- (2)} + 15 {(2)}^{2} e^{- (2)}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = - 5 \cdot (8 e^{- (2)}) + 15 {(2)}^{2} e^{- (2)}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$f' (2) = - 40 e^{- (2)} + 15 {(2)}^{2} e^{- (2)}$

Étape 10.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = - 40 e^{- 2} + 15 {(2)}^{2} e^{- (2)}$

Étape 10.3.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 40 \frac{1}{e^{2}} + 15 {(2)}^{2} e^{- (2)}$

Étape 10.3.2.1.5

Associez $- 40$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 40}{e^{2}} + 15 {(2)}^{2} e^{- (2)}$

Étape 10.3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (2) = - \frac{40}{e^{2}} + 15 {(2)}^{2} e^{- (2)}$

Étape 10.3.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{40}{e^{2}} + 15 \cdot (4 e^{- (2)})$

Étape 10.3.2.1.8

Multipliez $15$ par $4$ .

$f' (2) = - \frac{40}{e^{2}} + 60 e^{- (2)}$

Étape 10.3.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{40}{e^{2}} + 60 e^{- 2}$

Étape 10.3.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{40}{e^{2}} + 60 (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 10.3.2.1.11

Associez $60$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = - \frac{40}{e^{2}} + \frac{60}{e^{2}}$

Étape 10.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 10.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{- 40 + 60}{e^{2}}$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $- 40$ et $60$ .

$f' (2) = \frac{20}{e^{2}}$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $\frac{20}{e^{2}}$ .

$\frac{20}{e^{2}}$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée première $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - 5 {(6)}^{3} e^{- (6)} + 15 {(6)}^{2} e^{- (6)}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = - 5 \cdot (216 e^{- (6)}) + 15 {(6)}^{2} e^{- (6)}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $216$ .

$f' (6) = - 1080 e^{- (6)} + 15 {(6)}^{2} e^{- (6)}$

Étape 10.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (6) = - 1080 e^{- 6} + 15 {(6)}^{2} e^{- (6)}$

Étape 10.4.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - 1080 \frac{1}{e^{6}} + 15 {(6)}^{2} e^{- (6)}$

Étape 10.4.2.1.5

Associez $- 1080$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{- 1080}{e^{6}} + 15 {(6)}^{2} e^{- (6)}$

Étape 10.4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (6) = - \frac{1080}{e^{6}} + 15 {(6)}^{2} e^{- (6)}$

Étape 10.4.2.1.7

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = - \frac{1080}{e^{6}} + 15 \cdot (36 e^{- (6)})$

Étape 10.4.2.1.8

Multipliez $15$ par $36$ .

$f' (6) = - \frac{1080}{e^{6}} + 540 e^{- (6)}$

Étape 10.4.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (6) = - \frac{1080}{e^{6}} + 540 e^{- 6}$

Étape 10.4.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - \frac{1080}{e^{6}} + 540 (\frac{1}{e^{6}})$

Étape 10.4.2.1.11

Associez $540$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = - \frac{1080}{e^{6}} + \frac{540}{e^{6}}$

Étape 10.4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 10.4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (6) = \frac{- 1080 + 540}{e^{6}}$

Étape 10.4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.4.2.2.2.1

Additionnez $- 1080$ et $540$ .

$f' (6) = \frac{- 540}{e^{6}}$

Étape 10.4.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (6) = - \frac{540}{e^{6}}$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- \frac{540}{e^{6}}$ .

$- \frac{540}{e^{6}}$

Étape 10.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 3$ , $x = 3$ est un maximum local.

$x = 3$ est un maximum local

Étape 11