Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.2.5

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.2.6.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.3.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Étape 4.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ par $4 x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ par $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{1}{4}$

Étape 5.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{4}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{1}{4}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4}} = x$

Étape 5.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{1}{4}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{4}}$

Étape 5.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 6.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$7 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$7 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.3

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 9.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.4

Associez $7$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.7

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 9.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.8

Associez $12$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 9.1.9

Placez $e^{\frac{1}{4}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

Étape 9.1.10

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ en déplaçant $- \frac{1}{4}$ hors du logarithme.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \ln (e))$

Étape 9.1.11

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

Étape 9.1.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4})$

Étape 9.1.13

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

Étape 9.1.13.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (3)}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

Étape 9.1.13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 \cdot 3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

Étape 9.1.13.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Étape 9.1.14

Associez $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.15

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 - 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{4} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1^{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Étape 11.2.3

Placez $e^{\frac{1}{4}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

Étape 11.2.4

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ en déplaçant $- \frac{1}{4}$ hors du logarithme.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

Étape 11.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

Étape 11.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4})$

Étape 11.2.7

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{e \cdot 4}$

Étape 11.2.8

Déplacez $4$ à gauche de $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{4 e}$

Étape 11.2.9

La réponse finale est $- \frac{1}{4 e}$ .

$y = - \frac{1}{4 e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, - \frac{1}{4 e})$ est un minimum local

Étape 13