Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 12)}^{2}$ comme $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Étape 1.2

Développez $(x - 12) (x - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 24 x + 144$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.5.3

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.5.6

Comme $144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $144$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.5.7

Additionnez $2 x - 24$ et $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Étape 1.5.9

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4

Associez des termes.

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Étape 1.6.4.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.4.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.6.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.3

Déplacez $- 24$ à gauche de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.4.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.4.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.5

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.6

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.4.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.6.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.6.4.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 1.6.4.7

Multipliez $4$ par $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Étape 1.6.4.8

Additionnez $2 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Étape 1.6.4.9

Soustrayez $96 x^{4}$ de $- 24 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 120 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $- 120$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $576$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $576 x^{3}$ par rapport à $x$ est $576 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 (3 x^{2})$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $576$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 1728 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x - 12)}^{2}$ comme $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Étape 4.1.2

Développez $(x - 12) (x - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Étape 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.5

Différenciez.

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Étape 4.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 24 x + 144$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.5.3

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.5.6

Comme $144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $144$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.5.7

Additionnez $2 x - 24$ et $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Étape 4.1.5.9

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Étape 4.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.4.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.4.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 4.1.6.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.3

Déplacez $- 24$ à gauche de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.4.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.4.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.5

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.6

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.4.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.6.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 4.1.6.4.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.7

Multipliez $4$ par $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.8

Additionnez $2 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Étape 4.1.6.4.9

Soustrayez $96 x^{4}$ de $- 24 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $- 120 x^{4}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 576 x^{3} = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $576 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x + 96) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 20 x + 96$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $96$ et dont la somme est $- 20$ .

$- 12, - 8$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 x^{3} ((x - 12) (x - 8)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 12 = 0$

$x - 8 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 12$ égal à $0$ .

$x - 12 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 5.6

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$ vraie.

$x = 0, 12, 8$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 12, 8$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$30 {(0)}^{4} - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$30 \cdot 0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.2

Multipliez $30$ par $0$ .

$0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 480 \cdot 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 480$ par $0$ .

$0 + 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 1728 \cdot 0$

Étape 9.1.6

Multipliez $1728$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, 12) \cup (12, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $- 120$ par $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 {(- 2)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 \cdot - 8$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $576$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 - 4608$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 10.2.2.2.1

Soustrayez $1920$ de $- 192$ .

$f' (- 2) = - 2112 - 4608$

Étape 10.2.2.2.2

Soustrayez $4608$ de $- 2112$ .

$f' (- 2) = - 6720$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 6720$ .

$- 6720$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(0, 8)$ dans la dérivée première $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $6$ par $1024$ .

$f' (4) = 6144 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 6144 - 120 \cdot 256 + 576 {(4)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $- 120$ par $256$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 {(4)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 \cdot 64$

Étape 10.3.2.1.6

Multipliez $576$ par $64$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 36864$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.3.2.2.1

Soustrayez $30720$ de $6144$ .

$f' (4) = - 24576 + 36864$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $- 24576$ et $36864$ .

$f' (4) = 12288$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $12288$ .

$12288$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $10$ , de l’intervalle $(8, 12)$ dans la dérivée première $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = 6 {(10)}^{5} - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$f' (10) = 6 \cdot 100000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $6$ par $100000$ .

$f' (10) = 600000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $10$ à la puissance $4$ .

$f' (10) = 600000 - 120 \cdot 10000 + 576 {(10)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $- 120$ par $10000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 {(10)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.5

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 \cdot 1000$

Étape 10.4.2.1.6

Multipliez $576$ par $1000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576000$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.4.2.2.1

Soustrayez $1200000$ de $600000$ .

$f' (10) = - 600000 + 576000$

Étape 10.4.2.2.2

Additionnez $- 600000$ et $576000$ .

$f' (10) = - 24000$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- 24000$ .

$- 24000$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $14$ , de l’intervalle $(12, \infty)$ dans la dérivée première $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $14$ dans l’expression.

$f' (14) = 6 {(14)}^{5} - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.2.1.1

Élevez $14$ à la puissance $5$ .

$f' (14) = 6 \cdot 537824 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $6$ par $537824$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $14$ à la puissance $4$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 \cdot 38416 + 576 {(14)}^{3}$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $- 120$ par $38416$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 {(14)}^{3}$

Étape 10.5.2.1.5

Élevez $14$ à la puissance $3$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 \cdot 2744$

Étape 10.5.2.1.6

Multipliez $576$ par $2744$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 1580544$

Étape 10.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.5.2.2.1

Soustrayez $4609920$ de $3226944$ .

$f' (14) = - 1382976 + 1580544$

Étape 10.5.2.2.2

Additionnez $- 1382976$ et $1580544$ .

$f' (14) = 197568$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $197568$ .

$197568$

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 10.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 8$ , $x = 8$ est un maximum local.

$x = 8$ est un maximum local

Étape 10.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 12$ , $x = 12$ est un minimum local.

$x = 12$ est un minimum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$ .

$x = 0$ est un minimum local

$x = 8$ est un maximum local

$x = 12$ est un minimum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = 8$ est un maximum local

$x = 12$ est un minimum local

Étape 11