Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 4 x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x^{3} + 12 x^{2}$ et $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 4 x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} + 12 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3)$ .

$4 x^{2} (x + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} + 24 (0)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 + 24 (0)$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 24 (0)$

Étape 9.1.3

Multipliez $24$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 6$ , de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée première $4 x^{3} + 12 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 12 {(- 6)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 12 {(- 6)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 12 {(- 6)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 12 \cdot 36$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $12$ par $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 432$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $- 864$ et $432$ .

$f' (- 6) = - 432$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 432$ .

$- 432$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée première $4 x^{3} + 12 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 + 12 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 12 \cdot 4$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $12$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 32 + 48$

Étape 10.3.2.2

Additionnez $- 32$ et $48$ .

$f' (- 2) = 16$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $4 x^{3} + 12 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 12 {(2)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 12 {(2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = 32 + 12 {(2)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 32 + 12 \cdot 4$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $12$ par $4$ .

$f' (2) = 32 + 48$

Étape 10.4.2.2

Additionnez $32$ et $48$ .

$f' (2) = 80$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $80$ .

$80$

Étape 10.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 3$ , $x = - 3$ est un minimum local.

$x = - 3$ est un minimum local

Étape 10.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 1$ .

$x = - 3$ est un minimum local

Étape 11