Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + \frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Étape 2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 x^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 2.4.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + \frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$4 x^{3} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{3}) - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{2 + 3} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$4 x^{5} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{5} - 4 = 0 x^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$4 x^{5} - 4 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{5} = 4$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{5} = 4$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{5} = 4$ par $4$ .

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} = \frac{4}{4}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Divisez $4$ par $4$ .

$x^{5} = 1$

Étape 5.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{1}$

Étape 5.4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(1)}^{2} + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 \cdot 1 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 + \frac{8}{1}$

Étape 9.1.4

Divisez $8$ par $1$ .

$12 + 8$

Étape 9.2

Additionnez $12$ et $8$ .

$20$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{4}{1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + \frac{4}{1}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 4$

Étape 11.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (1) = 5$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$ .

$(1, 5)$ est un minimum local

Étape 13