Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $20 x^{3} - 48 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$

Étape 5.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 16 = 80$ et dont la somme est $b = - 24$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $- 24$ à partir de $- 24 u$ .

$5 u^{2} - 24 u + 16 = 0$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $- 24$ comme $- 4$ plus $- 20$

$5 u^{2} + (- 4 - 20) u + 16 = 0$

Étape 5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 u^{2} - 4 u - 20 u + 16 = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 u^{2} - 4 u) - 20 u + 16 = 0$

Étape 5.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (5 u - 4) - 4 (5 u - 4) = 0$

Étape 5.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 u - 4$ .

$(5 u - 4) (u - 4) = 0$

Étape 5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 u - 4 = 0$

$u - 4 = 0$

Étape 5.5

Définissez $5 u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $5 u - 4$ égal à $0$ .

$5 u - 4 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $5 u - 4 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 u = 4$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 u = 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 u = 4$ par $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 u}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{4}{5}$

Étape 5.6

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 u - 4) (u - 4) = 0$ vraie.

$u = \frac{4}{5}, 4$

Étape 5.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{4}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 5.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{4}{5}$

Étape 5.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}}$

Étape 5.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{5}}$ .

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Étape 5.10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.10.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.10.2.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 5.10.2.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 5.10.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 5.10.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 5.10.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.10.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.10.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.10.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.10.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 5.10.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 5.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 4$

Étape 5.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 5.12.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 5.12.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 5.12.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 5.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 5.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 5.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 5.13

La solution à $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 = 0$ est $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 2, - 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$20 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$20 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$20 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$20 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.2.4

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 9.1.2.4.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$20 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.2.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$20 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$20 \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.2.6

Multipliez $8$ par $5$ .

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$20 \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$5 (4) \frac{40 \sqrt{5}}{125} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 4 \frac{40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{40 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.5

Associez $4$ et $\frac{40 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (40 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.6

Multipliez $40$ par $4$ .

$\frac{160 \sqrt{5}}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.7

Annulez le facteur commun à $160$ et $25$ .

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Étape 9.1.7.1

Factorisez $5$ à partir de $160 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{25} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.8

Multipliez $- 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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Étape 9.1.8.1

Associez $- 48$ et $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 48 (2 \sqrt{5})}{5}$

Étape 9.1.8.2

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 96 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{32 \sqrt{5}}{5} - \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{32 \sqrt{5} - 96 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $96 \sqrt{5}$ de $32 \sqrt{5}$ .

$\frac{- 64 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64 \sqrt{5}}{5}$

Étape 10

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{{(2 \sqrt{5})}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{5}$ comme $\sqrt{5^{5}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.2.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{3125}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.2.4

Réécrivez $3125$ comme $25^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.4.1

Factorisez $625$ à partir de $3125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.2.4.2

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \cdot (25 \sqrt{5})}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.2.6

Multipliez $32$ par $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{800 \sqrt{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{800 \sqrt{5}}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun à $800$ et $3125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $25$ à partir de $800 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.2.1

Factorisez $25$ à partir de $3125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 (125)} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 \cdot 125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.6.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.6.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.6.4

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.4.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.6.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \cdot (5 \sqrt{5})}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.6.6

Multipliez $8$ par $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.7

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{40 \sqrt{5}}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.8

Annulez le facteur commun à $40$ et $125$ .

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Étape 11.2.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $40 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 (25)} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 \cdot 25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.9

Multipliez $- 8 \frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.9.1

Associez $- 8$ et $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{- 8 (8 \sqrt{5})}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.9.2

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{- 64 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 11.2.1.11

Multipliez $16 (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.11.1

Associez $16$ et $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{16 (2 \sqrt{5})}{5}$

Étape 11.2.1.11.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - (\frac{64 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ par $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25}$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ par $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Étape 11.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $25 \cdot 5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $5$ par $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $5$ par $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5}}{125} - \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 64 \sqrt{5} \cdot 5 + 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Multipliez $5$ par $- 64$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $25$ par $32$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{32 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 800 \sqrt{5}}{125}$

Étape 11.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Soustrayez $320 \sqrt{5}$ de $32 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{5} + 800 \sqrt{5}}{125}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $- 288 \sqrt{5}$ et $800 \sqrt{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{512 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$20 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$20 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.3.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.3.4

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.3.4.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.3.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$20 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$20 (- \frac{8 \cdot 5 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.3.6

Multipliez $8$ par $5$ .

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$20 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{40 \sqrt{5}}{125}$ dans le numérateur.

$20 \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$5 (4) \frac{- 40 \sqrt{5}}{125} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.5.3

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{- 40 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.6

Associez $4$ et $\frac{- 40 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (- 40 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.7

Multipliez $- 40$ par $4$ .

$\frac{- 160 \sqrt{5}}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.8

Annulez le facteur commun à $- 160$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $- 160 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{25} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 (5)} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 32 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} - 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 13.1.10

Multipliez $- 48 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 48$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + 48 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 13.1.10.2

Associez $48$ et $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{48 (2 \sqrt{5})}{5}$

Étape 13.1.10.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$- \frac{32 \sqrt{5}}{5} + \frac{96 \sqrt{5}}{5}$

Étape 13.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 32 \sqrt{5} + 96 \sqrt{5}}{5}$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 32 \sqrt{5}$ et $96 \sqrt{5}$ .

$\frac{64 \sqrt{5}}{5}$

Étape 14

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{2^{5} {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 {\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{5}$ comme $\sqrt{5^{5}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.3.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{3125}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.3.4

Réécrivez $3125$ comme $25^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.3.4.1

Factorisez $625$ à partir de $3125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.3.4.2

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \cdot (25 \sqrt{5})}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.3.6

Multipliez $32$ par $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{800 \sqrt{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{800 \sqrt{5}}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun à $800$ et $3125$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Factorisez $25$ à partir de $800 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.5.2.1

Factorisez $25$ à partir de $3125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 (125)} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (32 \sqrt{5})}{25 \cdot 125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{3}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{5})}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.6.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{2^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.8.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 {\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.8.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.8.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{125}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.8.4

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 15.2.1.8.4.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.8.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.8.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \cdot (5 \sqrt{5})}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.8.6

Multipliez $8$ par $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{40 \sqrt{5}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.9

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{40 \sqrt{5}}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.10

Annulez le facteur commun à $40$ et $125$ .

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Étape 15.2.1.10.1

Factorisez $5$ à partir de $40 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 (25)}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{5 (8 \sqrt{5})}{5 \cdot 25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{5}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.11

Multipliez $- 8 (- \frac{8 \sqrt{5}}{25})$ .

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Étape 15.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + 8 (\frac{8 \sqrt{5}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.11.2

Associez $8$ et $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{8 (8 \sqrt{5})}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.11.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 15.2.1.12

Multipliez $16 (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

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Étape 15.2.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} - 16 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 15.2.1.12.2

Associez $- 16$ et $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{- 16 (2 \sqrt{5})}{5}$

Étape 15.2.1.12.3

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} + \frac{- 32 \sqrt{5}}{5}$

Étape 15.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{64 \sqrt{5}}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{5}}{5}$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ par $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - (\frac{32 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25})$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{32 \sqrt{5}}{5}$ par $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Étape 15.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $25 \cdot 5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $5$ par $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $5$ par $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{5}}{125} + \frac{64 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 64 \sqrt{5} \cdot 5 - 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $5$ par $64$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 320 \sqrt{5} - 32 \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $25$ par $- 32$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 32 \sqrt{5} + 320 \sqrt{5} - 800 \sqrt{5}}{125}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 32 \sqrt{5}$ et $320 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{288 \sqrt{5} - 800 \sqrt{5}}{125}$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $800 \sqrt{5}$ de $288 \sqrt{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = \frac{- 512 \sqrt{5}}{125}$

Étape 15.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2 \sqrt{5}}{5}) = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $- \frac{512 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = - \frac{512 \sqrt{5}}{125}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$20 \cdot 8 - 48 \cdot 2$

Étape 17.1.2

Multipliez $20$ par $8$ .

$160 - 48 \cdot 2$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 48$ par $2$ .

$160 - 96$

Étape 17.2

Soustrayez $96$ de $160$ .

$64$

Étape 18

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{5} - 8 {(2)}^{3} + 16 (2)$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (2) = 32 - 8 {(2)}^{3} + 16 (2)$

Étape 19.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = 32 - 8 \cdot 8 + 16 (2)$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$f (2) = 32 - 64 + 16 (2)$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $16$ par $2$ .

$f (2) = 32 - 64 + 32$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $64$ de $32$ .

$f (2) = - 32 + 32$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 32$ et $32$ .

$f (2) = 0$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$20 {(- 2)}^{3} - 48 \cdot - 2$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$20 \cdot - 8 - 48 \cdot - 2$

Étape 21.1.2

Multipliez $20$ par $- 8$ .

$- 160 - 48 \cdot - 2$

Étape 21.1.3

Multipliez $- 48$ par $- 2$ .

$- 160 + 96$

Étape 21.2

Additionnez $- 160$ et $96$ .

$- 64$

Étape 22

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{5} - 8 {(- 2)}^{3} + 16 (- 2)$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f (- 2) = - 32 - 8 {(- 2)}^{3} + 16 (- 2)$

Étape 23.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = - 32 - 8 \cdot - 8 + 16 (- 2)$

Étape 23.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$f (- 2) = - 32 + 64 + 16 (- 2)$

Étape 23.2.1.4

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - 32 + 64 - 32$

Étape 23.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 23.2.2.1

Additionnez $- 32$ et $64$ .

$f (- 2) = 32 - 32$

Étape 23.2.2.2

Soustrayez $32$ de $32$ .

$f (- 2) = 0$

Étape 23.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 24

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ .

$(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ est un maximum local

$(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{512 \sqrt{5}}{125})$ est un minimum local

$(2, 0)$ est un minimum local

$(- 2, 0)$ est un maximum local

Étape 25