Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 - x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.2.9

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.3

Soustrayez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ de $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 1}{3}}$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{1}{3}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.10

Multipliez.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Étape 2.10.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Étape 2.11

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Étape 2.12

Multipliez.

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Étape 2.12.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Étape 2.12.2

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 4.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 4.1.2.9

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 5.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 x = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x = 0$

Étape 6.3.3

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 6.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0}$

Étape 9.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{2}{0}$

Étape 9.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{2}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2

La réponse finale est $- \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Placez ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = - \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.2

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 10.3.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f' (2) = - \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = - \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.2.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f' (2) = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Étape 10.4

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11