Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$0 - 5 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 x^{- 3}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.3.3

Soustrayez $\frac{5}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.3.4

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{5}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{- 4})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} - 24 x^{- 4}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{x^{3}}) - 24 x^{- 4}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{x^{3}}) - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Associez $10$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.4.3.2

Associez $- 24$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} + \frac{- 24}{x^{4}}$

Étape 2.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} - \frac{24}{x^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 4.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 4.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 4.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 4.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 4.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 4.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 4.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Étape 4.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 4.1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 x^{- 3}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.3.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.1.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 0 - \frac{5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.1.4.3.3

Soustrayez $\frac{5}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.1.4.3.4

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Étape 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Étape 5.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 5.2.6

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 5.2.7

Les facteurs pour $x^{3}$ sont $x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $3$ fois.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $3$ fois.

Étape 5.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{3}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x$

Étape 5.2.9

Simplifiez $x \cdot x \cdot x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Étape 5.2.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Étape 5.2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1}$

Étape 5.2.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ par $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{3} + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{3} + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 5.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 5 x + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 5 x + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 5 x + 8 = 0 x^{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{3}$ .

$- 5 x + 8 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x = - 8$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 8$ par $- 5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 8$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 5}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{8}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{8}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.4.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{8}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{8}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{10}{{(\frac{8}{5})}^{3}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{5}$ .

$\frac{10}{\frac{8^{3}}{5^{3}}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.1.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{10}{\frac{512}{5^{3}}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{10}{\frac{512}{125}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$10 (\frac{125}{512}) - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 (5) \frac{125}{512} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $512$ .

$2 \cdot 5 \frac{125}{2 \cdot 256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 5 \frac{125}{2 \cdot 256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{125}{256}) - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.4

Associez $5$ et $\frac{125}{256}$ .

$\frac{5 \cdot 125}{256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $5$ par $125$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Étape 9.1.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{5}$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{8^{4}}{5^{4}}}$

Étape 9.1.6.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{4096}{5^{4}}}$

Étape 9.1.6.3

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{4096}{625}}$

Étape 9.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{625}{256} - (24 (\frac{625}{4096}))$

Étape 9.1.8

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.1.8.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$\frac{625}{256} - (8 (3) \frac{625}{4096})$

Étape 9.1.8.2

Factorisez $8$ à partir de $4096$ .

$\frac{625}{256} - (8 \cdot 3 \frac{625}{8 \cdot 512})$

Étape 9.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{625}{256} - (8 \cdot 3 \frac{625}{8 \cdot 512})$

Étape 9.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{625}{256} - (3 (\frac{625}{512}))$

Étape 9.1.9

Associez $3$ et $\frac{625}{512}$ .

$\frac{625}{256} - \frac{3 \cdot 625}{512}$

Étape 9.1.10

Multipliez $3$ par $625$ .

$\frac{625}{256} - \frac{1875}{512}$

Étape 9.2

Pour écrire $\frac{625}{256}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{625}{256} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1875}{512}$

Étape 9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $512$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{625}{256}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{625 \cdot 2}{256 \cdot 2} - \frac{1875}{512}$

Étape 9.3.2

Multipliez $256$ par $2$ .

$\frac{625 \cdot 2}{512} - \frac{1875}{512}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{625 \cdot 2 - 1875}{512}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Multipliez $625$ par $2$ .

$\frac{1250 - 1875}{512}$

Étape 9.5.2

Soustrayez $1875$ de $1250$ .

$\frac{- 625}{512}$

Étape 9.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{625}{512}$

Étape 10

$x = \frac{8}{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{8}{5}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{8}{5}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{5}{\frac{8}{5}} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + 5 (\frac{5}{8}) - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $5 (\frac{5}{8})$ .

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Étape 11.2.1.2.1

Associez $5$ et $\frac{5}{8}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{5 \cdot 5}{8} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{5}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{8^{2}}{5^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{64}{5^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{64}{25}}$

Étape 11.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{64}))$

Étape 11.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{4 (16)}))$

Étape 11.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{4 \cdot 16}))$

Étape 11.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{1}{1} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{25}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{16}$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{25}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{25}{16}$

Étape 11.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $8 \cdot 2$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 8} - \frac{25}{16}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $2$ par $8$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{16} - \frac{25}{16}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16 + 25 \cdot 2 - 25}{16}$

Étape 11.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16 + 50 - 25}{16}$

Étape 11.2.4.2

Additionnez $16$ et $50$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{66 - 25}{16}$

Étape 11.2.4.3

Soustrayez $25$ de $66$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{41}{16}$

Étape 11.2.5

La réponse finale est $\frac{41}{16}$ .

$y = \frac{41}{16}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$(\frac{8}{5}, \frac{41}{16})$ est un maximum local

Étape 13