Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{8 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{8 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$x (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$x (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 x}$ .

$x (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (8 e^{8 x}) + e^{8 x} \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $e^{8 x}$ par $1$ .

$x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 e^{8 x} x + e^{8 x}$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{8 x} x + e^{8 x}$ .

$8 x e^{8 x} + e^{8 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x e^{8 x} + e^{8 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x e^{8 x}) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x e^{8 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x e^{8 x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x e^{8 x}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x e^{8 x}) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{8 x}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} (e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $8 x$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (8 x)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (8 x)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 x$ .

$f'' (x) = 8 (x (e^{8 x} \frac{d}{d x} (8 x)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 (x (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} (x))) + e^{8 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 (x (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.8

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 x}$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.2.9

Multipliez $e^{8 x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}) + \frac{d}{d x} (e^{8 x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $8 x$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $8 x$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 2.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}) + e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}) + e^{8 x} (8 \cdot 1)$

Étape 2.3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}) + e^{8 x} \cdot 8$

Étape 2.3.5

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 x}$ .

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}) + 8 e^{8 x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 8 (x (8 e^{8 x})) + 8 e^{8 x} + 8 e^{8 x}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$f'' (x) = 64 (x (e^{8 x})) + 8 e^{8 x} + 8 e^{8 x}$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $8 e^{8 x}$ et $8 e^{8 x}$ .

$f'' (x) = 64 x e^{8 x} + 16 e^{8 x}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 64 e^{8 x} x + 16 e^{8 x}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $64 e^{8 x} x + 16 e^{8 x}$ .

$f'' (x) = 64 x e^{8 x} + 16 e^{8 x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$8 x e^{8 x} + e^{8 x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{8 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$x (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$x (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3.2

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 x}$ .

$x (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (8 e^{8 x}) + e^{8 x} \cdot 1$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $e^{8 x}$ par $1$ .

$x (8 e^{8 x}) + e^{8 x}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 e^{8 x} x + e^{8 x}$

Étape 4.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{8 x} x + e^{8 x}$ .

$f' (x) = 8 x e^{8 x} + e^{8 x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 x e^{8 x} + e^{8 x}$ .

$8 x e^{8 x} + e^{8 x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 x e^{8 x} + e^{8 x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$8 x e^{8 x} + e^{8 x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $e^{8 x}$ à partir de $8 x e^{8 x} + e^{8 x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{8 x}$ à partir de $8 x e^{8 x}$ .

$e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} = 0$

Étape 5.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $e^{8 x}$ à partir de $e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot 1$ .

$e^{8 x} (8 x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{8 x} = 0$

$8 x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{8 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{8 x}$ égal à $0$ .

$e^{8 x} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{8 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{8 x}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{8 x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $8 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $8 x + 1$ égal à $0$ .

$8 x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $8 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 x = - 1$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $8 x = - 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = - 1$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{8}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{8 x} (8 x + 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{8}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{1}{8}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$64 (- \frac{1}{8}) e^{8 (- \frac{1}{8})} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$64 (\frac{- 1}{8}) e^{8 (- \frac{1}{8})} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$8 (8) \frac{- 1}{8} e^{8 (- \frac{1}{8})} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot 8 \frac{- 1}{8} e^{8 (- \frac{1}{8})} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot - 1 e^{8 (- \frac{1}{8})} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 e^{8 (- \frac{1}{8})} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$- 8 e^{8 (\frac{- 1}{8})} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$- 8 e^{8 (\frac{- 1}{8})} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 8 e^{- 1} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.5

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 8}{e} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{e} + 16 e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 9.1.7

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$- \frac{8}{e} + 16 e^{8 (\frac{- 1}{8})}$

Étape 9.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{8}{e} + 16 e^{8 (\frac{- 1}{8})}$

Étape 9.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{8}{e} + 16 e^{- 1}$

Étape 9.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{e} + 16 \frac{1}{e}$

Étape 9.1.9

Associez $16$ et $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{8}{e} + \frac{16}{e}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 + 16}{e}$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 8$ et $16$ .

$\frac{8}{e}$

Étape 10

$x = - \frac{1}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{8}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{8}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{8}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{8}) = (- \frac{1}{8}) \cdot e^{8 (- \frac{1}{8})}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 11.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{8 (\frac{- 1}{8})}$

Étape 11.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{8 (\frac{- 1}{8})}$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 1}$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e}$

Étape 11.2.3

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{e \cdot 8}$

Étape 11.2.4

Déplacez $8$ à gauche de $e$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8 e}$

Étape 11.2.5

La réponse finale est $- \frac{1}{8 e}$ .

$y = - \frac{1}{8 e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x e^{8 x}$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{8 e})$ est un minimum local

Étape 13