Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 10 x - 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 10 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$2 x - 10 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 10 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 x - 10$ et $0$ .

$2 x - 10$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 10)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x - 10 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 10 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$2 x - 10 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 10 + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $2 x - 10$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x - 10$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 10$ .

$2 x - 10$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 10 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 10 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 10$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 10$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 10$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $10$ par $2$ .

$x = 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2$

Étape 9

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = {(5)}^{2} - 10 \cdot 5 - 2$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = 25 - 10 \cdot 5 - 2$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $5$ .

$f (5) = 25 - 50 - 2$

Étape 10.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$f (5) = - 25 - 2$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 25$ .

$f (5) = - 27$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $- 27$ .

$y = - 27$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} - 10 x - 2$ .

$(5, - 27)$ est un minimum local

Étape 12