Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.2

$f'' (x) = 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1)$

Étape 2.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1)$

Étape 2.3.8

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Étape 2.3.9

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = 9 (x^{2} (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 (e^{3 x} (x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Étape 2.4.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 e^{3 x} x + 6 (x (e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Étape 2.4.3.4

Additionnez $6 e^{3 x} x$ et $6 x e^{3 x}$ .

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Étape 2.4.3.4.1

Déplacez $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Étape 2.4.3.4.2

Additionnez $6 x e^{3 x}$ et $6 x e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

Étape 2.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Étape 4.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x e^{3 x}$ à partir de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x e^{3 x}$ à partir de $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x e^{3 x}$ à partir de $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x e^{3 x}$ à partir de $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $e^{3 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $e^{3 x}$ égal à $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $e^{3 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Étape 5.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{3 x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.6

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 5.6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 5.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 5.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 5.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$9 {(0)}^{2} e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 \cdot 0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 e^{0} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.6

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 0 e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.9

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{3 (0)}$

Étape 9.1.10

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Étape 9.1.11

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Étape 9.1.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{3 (0)}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 e^{3 (0)}$

Étape 11.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Étape 11.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Étape 11.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.5

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{2}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$9 {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$9 \frac{2^{2}}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$9 \frac{4}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.6

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 13.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$4 e^{- 2} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.9

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (\frac{- 2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.10.2

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 3 (4) \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{e^{2}} + 3 \cdot 4 \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{e^{2}} + 4 \cdot - 2 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.11

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.14

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 13.1.16

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Étape 13.1.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Étape 13.1.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 13.1.17

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Étape 13.1.18

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Étape 13.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Étape 13.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Étape 13.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Étape 14

$x = - \frac{2}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{2}{3}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{2}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 15.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 15.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 15.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 15.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 15.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Étape 15.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Étape 15.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{- 2}$

Étape 15.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Étape 15.2.5

Associez.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 \cdot 1}{9 e^{2}}$

Étape 15.2.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9 e^{2}}$

Étape 15.2.7

La réponse finale est $\frac{4}{9 e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{9 e^{2}}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} e^{3 x}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(- \frac{2}{3}, \frac{4}{9 e^{2}})$ est un maximum local

Étape 17