Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les minimums et maximums locaux f(x)=x^2 racine cubique de x-2
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 1.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.5
Associez et .
Étape 1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.7
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1
Multipliez par .
Étape 1.7.2
Soustrayez de .
Étape 1.8
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.8.2
Associez et .
Étape 1.8.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.8.4
Associez et .
Étape 1.9
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.11
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.12
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.12.1
Additionnez et .
Étape 1.12.2
Multipliez par .
Étape 1.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.14
Déplacez à gauche de .
Étape 1.15
Associez et en utilisant un dénominateur commun.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.15.1
Déplacez .
Étape 1.15.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.15.3
Associez et .
Étape 1.15.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.16
Multipliez par .
Étape 1.17
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.17.1
Déplacez .
Étape 1.17.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.17.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.17.4
Additionnez et .
Étape 1.17.5
Divisez par .
Étape 1.18
Simplifiez .
Étape 1.19
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.19.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.19.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.19.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.19.2.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.19.2.1.1.1
Déplacez .
Étape 1.19.2.1.1.2
Multipliez par .
Étape 1.19.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.19.2.2
Additionnez et .
Étape 1.19.3
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.19.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.19.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.19.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 2.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.3.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.2.1
Associez et .
Étape 2.3.2.2
Multipliez par .
Étape 2.4
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.5
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.5.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.5.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.5.4
Multipliez par .
Étape 2.5.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.5.6
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.6.1
Additionnez et .
Étape 2.5.6.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.5.7
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.5.8
Simplifiez en ajoutant des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.8.1
Multipliez par .
Étape 2.5.8.2
Additionnez et .
Étape 2.6
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.6.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.6.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.6.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.8
Associez et .
Étape 2.9
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.10
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.1
Multipliez par .
Étape 2.10.2
Soustrayez de .
Étape 2.11
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.11.2
Associez et .
Étape 2.11.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.11.4
Associez et .
Étape 2.12
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.14
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.15
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.15.1
Additionnez et .
Étape 2.15.2
Multipliez par .
Étape 2.15.3
Multipliez par .
Étape 2.16
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.16.1.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.16.1.3
Déplacez à gauche de .
Étape 2.16.1.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.16.1.5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.5.1
Multipliez par .
Étape 2.16.1.5.2
Associez et .
Étape 2.16.1.5.3
Multipliez par .
Étape 2.16.1.5.4
Associez et .
Étape 2.16.1.5.5
Élevez à la puissance .
Étape 2.16.1.5.6
Élevez à la puissance .
Étape 2.16.1.5.7
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.16.1.5.8
Additionnez et .
Étape 2.16.1.6
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.6.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 2.16.1.6.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.6.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.6.4
Annulez le facteur commun.
Étape 2.16.1.6.5
Réécrivez l’expression.
Étape 2.16.1.7
Associez et .
Étape 2.16.1.8
Multipliez par .
Étape 2.16.1.9
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.16.1.10
Soustrayez de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.10.1
Déplacez .
Étape 2.16.1.10.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.16.1.10.3
Associez et .
Étape 2.16.1.10.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.16.1.11
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.16.1.12
Associez et .
Étape 2.16.1.13
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.16.1.14
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.14.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.14.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.14.2.1
Déplacez .
Étape 2.16.1.14.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.16.1.14.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.16.1.14.2.4
Additionnez et .
Étape 2.16.1.14.2.5
Divisez par .
Étape 2.16.1.14.3
Simplifiez .
Étape 2.16.1.14.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.16.1.14.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.14.5.1
Déplacez .
Étape 2.16.1.14.5.2
Multipliez par .
Étape 2.16.1.14.6
Multipliez par .
Étape 2.16.1.14.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.16.1.14.8
Multipliez par .
Étape 2.16.1.14.9
Multipliez par .
Étape 2.16.1.14.10
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 2.16.1.14.11
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.14.11.1
Déplacez .
Étape 2.16.1.14.11.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.16.1.14.11.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.16.1.14.11.4
Additionnez et .
Étape 2.16.1.14.11.5
Divisez par .
Étape 2.16.1.14.12
Simplifiez .
Étape 2.16.1.14.13
Multipliez par .
Étape 2.16.1.14.14
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.16.1.14.15
Multipliez par .
Étape 2.16.1.14.16
Soustrayez de .
Étape 2.16.1.14.17
Soustrayez de .
Étape 2.16.1.14.18
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.14.18.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.18.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.18.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.18.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.18.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.14.19
Multipliez par .
Étape 2.16.1.15
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.16.1.16
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.16.1
Multipliez par .
Étape 2.16.1.16.2
Réorganisez les facteurs de .
Étape 2.16.1.17
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.16.1.18
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.18.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1.18.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.18.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.16.1.18.2
Multipliez par .
Étape 2.16.1.18.3
Additionnez et .
Étape 2.16.2
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.2.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 2.16.2.2
Multipliez par .
Étape 2.16.2.3
Multipliez par .
Étape 2.16.2.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.2.4.1
Déplacez .
Étape 2.16.2.4.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.16.2.4.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.16.2.4.4
Additionnez et .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.1.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 4.1.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.1.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.1.5
Associez et .
Étape 4.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.1.7
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.7.1
Multipliez par .
Étape 4.1.7.2
Soustrayez de .
Étape 4.1.8
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.8.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.1.8.2
Associez et .
Étape 4.1.8.3
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.1.8.4
Associez et .
Étape 4.1.9
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.11
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.12
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.12.1
Additionnez et .
Étape 4.1.12.2
Multipliez par .
Étape 4.1.13
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.14
Déplacez à gauche de .
Étape 4.1.15
Associez et en utilisant un dénominateur commun.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.15.1
Déplacez .
Étape 4.1.15.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.1.15.3
Associez et .
Étape 4.1.15.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.1.16
Multipliez par .
Étape 4.1.17
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.17.1
Déplacez .
Étape 4.1.17.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.1.17.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.1.17.4
Additionnez et .
Étape 4.1.17.5
Divisez par .
Étape 4.1.18
Simplifiez .
Étape 4.1.19
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.19.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.1.19.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.19.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.19.2.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.19.2.1.1.1
Déplacez .
Étape 4.1.19.2.1.1.2
Multipliez par .
Étape 4.1.19.2.1.2
Multipliez par .
Étape 4.1.19.2.2
Additionnez et .
Étape 4.1.19.3
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.19.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.19.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.19.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 5.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.3.2
Définissez égal à .
Étape 5.3.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.1
Définissez égal à .
Étape 5.3.3.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.3.3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.3.3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.3.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.3.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 6.2
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.3
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.1
Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.
Étape 6.3.2
Simplifiez chaque côté de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 6.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.3.2.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.3.2.2.1.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.2.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.3.2.2.1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.2.1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.3.2.2.1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 6.3.3
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.3.1
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.3.1.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 6.3.3.1.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.3.1.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.3.1.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.3.3.1.2.1.2
Divisez par .
Étape 6.3.3.1.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.3.1.3.1
Divisez par .
Étape 6.3.3.2
Définissez le égal à .
Étape 6.3.3.3
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
Multipliez par .
Étape 9.1.4
Additionnez et .
Étape 9.1.5
Additionnez et .
Étape 9.2
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Soustrayez de .
Étape 9.2.2
Multipliez par .
Étape 9.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 9.3
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.3.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.3.3
Réécrivez l’expression.
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.2
Soustrayez de .
Étape 11.2.3
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.3.1
Réécrivez comme .
Étape 11.2.3.2
Réécrivez comme .
Étape 11.2.4
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 11.2.5
Réécrivez comme .
Étape 11.2.6
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.6.1
Multipliez par .
Étape 11.2.6.2
Multipliez par .
Étape 11.2.7
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 13.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 13.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 13.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.1.4.2
Annulez le facteur commun.
Étape 13.1.4.3
Réécrivez l’expression.
Étape 13.1.5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.5.1
Associez et .
Étape 13.1.5.2
Multipliez par .
Étape 13.1.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 13.1.7
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 13.1.8
Soustrayez de .
Étape 13.1.9
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 13.1.10
Associez et .
Étape 13.1.11
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 13.1.12
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.12.1
Multipliez par .
Étape 13.1.12.2
Additionnez et .
Étape 13.1.13
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 13.1.14
Associez les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.14.1
Factorisez le signe négatif.
Étape 13.1.14.2
Associez et .
Étape 13.1.14.3
Multipliez par .
Étape 13.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.2.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 13.2.2
Associez et .
Étape 13.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 13.2.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.2.4.1
Multipliez par .
Étape 13.2.4.2
Soustrayez de .
Étape 13.2.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 13.2.6
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.2.6.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 13.2.6.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 13.2.7
Réécrivez comme .
Étape 13.2.8
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 13.2.9
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.2.9.1
Annulez le facteur commun.
Étape 13.2.9.2
Réécrivez l’expression.
Étape 13.2.10
Élevez à la puissance .
Étape 13.3
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.3.1
Multipliez par .
Étape 13.3.2
Associez et .
Étape 13.4
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.4.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 13.4.2
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 13.5
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 13.6
Associez.
Étape 13.7
Placez sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 13.8
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.8.1
Déplacez .
Étape 13.8.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 13.8.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 13.8.4
Associez et .
Étape 13.8.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 13.8.6
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.8.6.1
Multipliez par .
Étape 13.8.6.2
Additionnez et .
Étape 13.9
Factorisez à partir de .
Étape 13.10
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.10.2
Annulez le facteur commun.
Étape 13.10.3
Réécrivez l’expression.
Étape 14
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 15
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 15.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 15.2.5
Associez et .
Étape 15.2.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 15.2.7
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.7.1
Multipliez par .
Étape 15.2.7.2
Soustrayez de .
Étape 15.2.8
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 15.2.9
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.9.1
Réécrivez comme .
Étape 15.2.9.2
Réécrivez comme .
Étape 15.2.10
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 15.2.11
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.12
Réécrivez comme .
Étape 15.2.13
Multipliez par .
Étape 15.2.14
Associez et simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.14.1
Multipliez par .
Étape 15.2.14.2
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.14.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 15.2.14.4
Additionnez et .
Étape 15.2.14.5
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.14.5.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 15.2.14.5.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 15.2.14.5.3
Associez et .
Étape 15.2.14.5.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.14.5.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 15.2.14.5.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 15.2.14.5.5
Évaluez l’exposant.
Étape 15.2.15
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.15.1
Réécrivez comme .
Étape 15.2.15.2
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.16
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.16.1
Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.
Étape 15.2.16.2
Multipliez par .
Étape 15.2.17
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.17.1
Multipliez par .
Étape 15.2.17.2
Multipliez par .
Étape 15.2.18
La réponse finale est .
Étape 16
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 17
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 17.1
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 17.1.1
Soustrayez de .
Étape 17.1.2
Réécrivez comme .
Étape 17.1.3
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 17.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 17.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 17.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 17.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 17.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 17.3.2
Multipliez par .
Étape 17.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 17.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Indéfini
Étape 18
Comme il y a au moins un point avec ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 18.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 18.2.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.2.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.2.2.1.1
Multipliez par .
Étape 18.2.2.1.2
Soustrayez de .
Étape 18.2.2.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.2.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 18.2.2.2.2
Multipliez par .
Étape 18.2.2.3
La réponse finale est .
Étape 18.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 18.3.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.3.2.1
Multipliez par .
Étape 18.3.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.3.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 18.3.2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 18.3.2.2.3
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 18.3.2.2.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.3.2.2.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 18.3.2.2.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 18.3.2.2.5
Élevez à la puissance .
Étape 18.3.2.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.3.2.3.1
Multipliez par .
Étape 18.3.2.3.2
Soustrayez de .
Étape 18.3.2.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.3.2.4.1
Multipliez par .
Étape 18.3.2.4.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 18.3.2.5
La réponse finale est .
Étape 18.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 18.4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.4.2.1
Multipliez par .
Étape 18.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 18.4.2.3
La réponse finale est .
Étape 18.5
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 18.5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.5.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.5.2.1.1
Multipliez par .
Étape 18.5.2.1.2
Soustrayez de .
Étape 18.5.2.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.5.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 18.5.2.2.2
Multipliez par .
Étape 18.5.2.3
La réponse finale est .
Étape 18.6
Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de , est un maximum local.
est un maximum local
Étape 18.7
Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de , est un minimum local.
est un minimum local
Étape 18.8
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 18.9
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
est un maximum local
est un minimum local
Étape 19