Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 4 x - 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x^{2} + 4$ et $0$ .

$3 x^{2} + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 4 = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6