Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ , $[6, 16]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[6, 16]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = x + \frac{96}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{96}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[6, 16]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Étape 7

Comme $96$ est constant par rapport à $x$ , placez $96$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $16$ et sur $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Étape 9.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $16$ et sur $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3

Simplifiez

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Étape 9.1.3.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.3

Annulez le facteur commun à $256$ et $2$ .

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Étape 9.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.3.2.4

Divisez $128$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.5

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.6

Associez $- 36$ et $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $2$ .

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Étape 9.1.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.7.2.4

Divisez $- 18$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.1.3.8

Soustrayez $18$ de $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Étape 9.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $16$ est $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

Étape 9.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $6$ est $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $6$ .

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Étape 9.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

Étape 9.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Étape 9.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Étape 9.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Étape 10

Soustrayez $6$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Simplifiez $96 \ln (\frac{8}{3})$ en déplaçant $96$ dans le logarithme.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

Étape 11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $10$ à partir de $110$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Étape 12.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Étape 13

Simplifiez $\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ en déplaçant $\frac{1}{10}$ dans le logarithme.

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8^{96}}{3^{96}}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Étape 14.2

Multipliez les exposants dans ${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

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Étape 14.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Étape 14.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Étape 14.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Étape 14.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Étape 14.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Étape 14.2.3

Associez $48$ et $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Étape 14.3

Multipliez les exposants dans ${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

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Étape 14.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

Étape 14.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Étape 14.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Étape 14.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

Étape 14.3.3

Associez $48$ et $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

Étape 15