Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 u$ à partir de $56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $2 u$ à partir de $56 u$ .

$2 u (28) - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $2 u$ à partir de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (28) + 2 u (- u) - 4 u^{3} = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $2 u$ à partir de $- 4 u^{3}$ .

$2 u (28) + 2 u (- u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

Étape 2.1.2.4

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (28) + 2 u (- u)$ .

$2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

Étape 2.1.2.5

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2})$ .

$2 u (28 - u - 2 u^{2}) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez.

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Étape 2.1.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 u (- 2 u^{2} - u + 28) = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 28 = - 56$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.1.3.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$2 u (- 2 u^{2} - (u) + 28) = 0$

Étape 2.1.3.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $7$ plus $- 8$

$2 u (- 2 u^{2} + (7 - 8) u + 28) = 0$

Étape 2.1.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u (- 2 u^{2} + 7 u - 8 u + 28) = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.3.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 u ((- 2 u^{2} + 7 u) - 8 u + 28) = 0$

Étape 2.1.3.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 u (u (- 2 u + 7) + 4 (- 2 u + 7)) = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 u + 7$ .

$2 u ((- 2 u + 7) (u + 4)) = 0$

Étape 2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 u (- 2 u + 7) (u + 4) = 0$

Étape 2.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$- 2 x + 7 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $- 2 x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $- 2 x + 7$ égal à $0$ .

$- 2 x + 7 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $- 2 x + 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 7$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 7$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 7$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{7}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{7}{2}, - 4$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty), {x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

Plage : $(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty), {y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

Étape 6