Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $y = x - \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x - \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Étape 2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x} + 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $\frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 5.1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Étape 5.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x} + 1$ .

$- \frac{1}{x} + 1$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{x} = - 1$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x} = - 1$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x} = - 1$ par $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - x$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - x$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x = - 1$ .

$- x = - 1$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1}$

Étape 10.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 11

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = (1) - \ln (1)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 1 - 0$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (1) = 1$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x - \ln (x)$ .

$(1, 1)$ est un minimum local

Étape 14