Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Étape 1

Écrivez $y = \sin (x) + \cos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Séparez les fractions.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 10

Séparez les fractions.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 11

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 12

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 13

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Étape 14

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - 1$

Étape 15

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 15.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 15.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 15.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 15.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 16

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 17

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 18

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 19

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 19.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 19.2

Associez les fractions.

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Étape 19.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 19.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 19.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 19.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 20

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 22.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 22.2

Simplifiez les termes.

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Étape 22.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 22.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 22.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 22.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 22.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 22.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 22.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 22.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Étape 22.2.3.2.4

Divisez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{2}$

Étape 23

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Étape 24.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 24.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 24.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Étape 24.2.2.2

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 24.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 24.2.2.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Étape 24.2.3

La réponse finale est $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 26

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 26.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.1.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 26.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.1.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 26.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 26.1.6

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 26.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 26.1.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 26.2

Simplifiez les termes.

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Étape 26.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Étape 26.2.2

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 26.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 26.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 26.2.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 27

$x = \frac{5 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{4}$ est un minimum local

Étape 28

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 28.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 28.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 28.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 28.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 28.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 28.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 28.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 28.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 28.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 28.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 28.2.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 28.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 28.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 28.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 28.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 28.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Étape 28.2.2.3.2.4

Divisez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Étape 28.2.3

La réponse finale est $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Étape 29

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ est un minimum local

Étape 30