Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (x) + \frac{x}{2}$

Étape 1

Écrivez $y = \cos (x) + \frac{x}{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) + \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} - \sin (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Étape 3.3

Soustrayez $\cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{2} - \sin (x) = 0$

Étape 5

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Étape 6.3.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 10

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 10.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 10.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 10.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 10.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 11

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \cos (\frac{π}{6})$

Étape 13

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 14

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 15.2.1.3.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 15.2.1.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \cos (\frac{5 π}{6})$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- - \cos (\frac{π}{6})$

Étape 17.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 17.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 17.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 17.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 18

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = - \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Étape 19.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Étape 19.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 19.2.1.4.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 19.2.1.4.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

Étape 19.2.2

La réponse finale est $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12})$ est un minimum local

Étape 21