Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$

Étape 1

Écrivez $y = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ comme une fonction.

$f (x) = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$24 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$24 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ .

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 8 - x$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 2.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 2.4.8

Soustrayez $1$ de $0$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \cdot - 1 + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 2.4.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 1 \cdot x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 2.4.10

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 2.4.11

Déplacez $3$ à gauche de $8 - x$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 (8 - x) x^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (3 \cdot 8 + 3 (- x)) x^{2}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 \cdot 8 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

Étape 2.5.3

Associez des termes.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x \cdot x^{2}$

Étape 2.5.3.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x)$

Étape 2.5.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.5.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x^{1})$

Étape 2.5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{2 + 1}$

Étape 2.5.3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{3}$

Étape 2.5.3.4

Soustrayez $3 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 2.5.3.5

Soustrayez $4 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$24 x^{2} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 2.5.3.6

Additionnez $24 x^{2}$ et $24 x^{2}$ .

$- 8 x^{3} + 48 x^{2}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 (2 x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 96 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$24 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$24 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ .

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Étape 5.1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 8 - x$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.4.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 5.1.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 5.1.4.8

Soustrayez $1$ de $0$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \cdot - 1 + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 5.1.4.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 1 \cdot x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 5.1.4.10

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

Étape 5.1.4.11

Déplacez $3$ à gauche de $8 - x$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 (8 - x) x^{2}$

Étape 5.1.5

Simplifiez

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Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (3 \cdot 8 + 3 (- x)) x^{2}$

Étape 5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 \cdot 8 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

Étape 5.1.5.3

Associez des termes.

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Étape 5.1.5.3.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

Étape 5.1.5.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x \cdot x^{2}$

Étape 5.1.5.3.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.5.3.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x)$

Étape 5.1.5.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.1.5.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x^{1})$

Étape 5.1.5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{2 + 1}$

Étape 5.1.5.3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{3}$

Étape 5.1.5.3.4

Soustrayez $3 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 5.1.5.3.5

Soustrayez $4 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$24 x^{2} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 5.1.5.3.6

Additionnez $24 x^{2}$ et $24 x^{2}$ .

$f' (x) = - 8 x^{3} + 48 x^{2}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$- 8 x^{3} + 48 x^{2}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $- 8 x^{2}$ à partir de $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 8 x^{2}$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x^{2} x + 48 x^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 8 x^{2}$ à partir de $48 x^{2}$ .

$- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 6 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 8 x^{2}$ à partir de $- 8 x^{2} (x) - 8 x^{2} (- 6)$ .

$- 8 x^{2} (x - 6) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 8 x^{2} (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, 6$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 24 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 24 \cdot 0 + 96 (0)$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$0 + 96 (0)$

Étape 10.1.3

Multipliez $96$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 8 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 8 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = 64 + 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 11.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 64 + 48 \cdot 4$

Étape 11.2.2.1.4

Multipliez $48$ par $4$ .

$f' (- 2) = 64 + 192$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $64$ et $192$ .

$f' (- 2) = 256$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $256$ .

$256$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(0, 6)$ dans la dérivée première $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - 8 {(3)}^{3} + 48 {(3)}^{2}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = - 8 \cdot 27 + 48 {(3)}^{2}$

Étape 11.3.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $27$ .

$f' (3) = - 216 + 48 {(3)}^{2}$

Étape 11.3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - 216 + 48 \cdot 9$

Étape 11.3.2.1.4

Multipliez $48$ par $9$ .

$f' (3) = - 216 + 432$

Étape 11.3.2.2

Additionnez $- 216$ et $432$ .

$f' (3) = 216$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $216$ .

$216$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée première $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - 8 {(8)}^{3} + 48 {(8)}^{2}$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f' (8) = - 8 \cdot 512 + 48 {(8)}^{2}$

Étape 11.4.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $512$ .

$f' (8) = - 4096 + 48 {(8)}^{2}$

Étape 11.4.2.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = - 4096 + 48 \cdot 64$

Étape 11.4.2.1.4

Multipliez $48$ par $64$ .

$f' (8) = - 4096 + 3072$

Étape 11.4.2.2

Additionnez $- 4096$ et $3072$ .

$f' (8) = - 1024$

Étape 11.4.2.3

La réponse finale est $- 1024$ .

$- 1024$

Étape 11.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 6$ , $x = 6$ est un maximum local.

$x = 6$ est un maximum local

Étape 12